x の逆数の肩に対数関数を載せてみました

x の逆数の肩に対数関数を載せてみました

\[y=\left( \frac{1}{x} \right) ^{\log x} \quad(x \gt 0) \qquad[1]\]
 エクセルでグラフを描いてみると下図のようになります。

 エクセル関数y=(1÷x)^logx

 x = 1 で最大値 1 をとります。
 念のために y を微分して確認しておきましょう。
 [1] の両辺の対数をとると
 
\[\begin{align*}\log y=\:&\log x \left( \frac{1}{x} \right) \\[6pt]
\log y=&-(\log x)^2 \end{align*}\]
となります。両辺を微分すると
 
\[\frac{y'}{y}=-2\:\frac{\log x}{x}\]
となるので、
 
\[y'=-2\:\frac{y \log x}{x}\]
 y' = 0 とおくと、x > 0 なので、logx = 0 より x = 1 が得られます。
 

振動させてみます

 上の関数に cosx を掛けて
 
\[y=\left( \frac{1}{x} \right) ^{\log x} \cos x \quad(x \gt 0) \qquad[2]\]
という関数をつくってみます。

 エクセル関数y=cosx(1÷x)^logx

 これは比較的単純な減衰振動関数ですね。
 さらに色々な三角関数を足してみると、複雑な周期関数が描かれます。

 エクセル関数y=cosx(1÷x)^logx+sinx2

 皆さんもエクセルで色々試してみてくださいね。

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。