2 個のサイコロを投げる状況で色々な確率を計算します

[問題 PS-14] 2 個のサイコロを投げます

 $A,\;B$ $2$ 個のサイコロを投げます。
 $A$ の出る目を $X$ , $B$ の出る目を $Y$ として、以下の確率を計算してください。

 (1) $X\gt Y$ となる確率。
 (2) $X+Y\geq 9$ となる確率。
 (3) $X+Y$ が偶数ととなる確率。
 (4) $Y$ が $X$ の倍数となる確率。
 (5) $X\lt Y^2$ かつ $X^2\gt Y$ となる確率。
 
 

ヒント ($X\lt Y$ となる確率も同じはずです)

 本問から、いよいよ 確率 の計算が始まります。今回は サイコロの定番問題 をできるだけ集めておきました。まだ確率計算に慣れていないうちは、意外と (1) で戸惑うかもしれません。「$X\lt Y$ となる確率も同じはず」と考えてみましょう。
 

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解答 PS-14 (2 つのサイコロの目が等しい場合に着目します)

(1) サイコロを 2 個振ったときに現れる場合の数は
 
\[6\times 6=36\,通り\]
です。また、$A$ の目と $B$ の目の大小関係に注目すると

  ① $A$ の目が $B$ の目より大きい ($X\gt Y$)
  ② $A$ の目が $B$ の目より小さい ($X\lt Y$)
  ③ $A$ の目と $B$ の目が等しい  ($X=Y$)

のいずれかになります(当たり前です)。今は ① の状態が現れる確率を求めたいわけですが、同じサイコロを振っているわけですから、これは ② と同じ確率であるはずです。だからこの問題で注目すべきは ③ なのです。すなわち $36$ 通りから $X=Y$ となる $6$ 通りを引いた $30$ 通りを ① と ② に等しく分ければ、① の状態になる場合の数が $15$ 通りであることがわかります。よって、$X\gt Y$ となる確率は
 
\[\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\]
となります。

(2) この問題は単純に数え上げるだけです。

  $X+Y=9$   $(3,\,6),\;(6,\,3),\;(4,\,5),\;(5,\,4)$
  $X+Y=10$  $(4,\,6),\;(6,\,4),\;(5,\,5)$
  $X+Y=11$  $(5,\,6),\;(6,\,5)$
  $X+Y=12$  $(6,\,6)$

 全部合わせると $10$ 通りなので、$X+Y\geq 9$ となる確率は
 
\[\frac{10}{36}=\frac{5}{18}\]
となります。

(3) $X+Y$ が偶数であるということは、$X$ と $Y$ がともに偶数、あるいはともに奇数である場合です。$X=(2,\,4,\,6)$ の $3$ 通りのそれぞれについて、$Y=(2,\,4,\,6)$ の $3$ 通りがあるので、$X$ と $Y$ がともに偶数であるのは $3^2=9$ 通りです。同様に$X$ と $Y$ が両方奇数である場合も $9$ 通りです。したがって、$X+Y$ が偶数である確率は
 
\[\frac{9+9}{36}=\frac{1}{2}\]
となります。

(4) この問題も丁寧に場合の数を数えます。$Y$ が $X$ の倍数となるのは、
 
\[\begin{align*}&(1,\,1),\;(1,\,2),\;(1,\,3),\;(1,\,4),\;(1,\,5)\\[6pt]
&(1,\,6),\;(2,\,2),\;(2,\,4),\;(2,\,6),\;(3,\,3)\\[6pt]
&(3,\,6),\;(4,\,4),\;(5,\,5),\;(6,\,6)\end{align*}\]
の $14$ 通りです。したがって、$Y$ が $X$ の倍数となる確率は
 
\[\frac{14}{36}=\frac{7}{18}\]
となります。

(5) $X\lt Y^2$ かつ $X^2\gt Y$ より
 
\[\sqrt{Y}\lt X\lt Y^2\]
という不等式をつくることができます。$X=1$ と $Y=1$ は明らかにこの不等式を満たしません。$2\leq Y\leq 6$ の範囲で調べると
 
\[\begin{align*}&Y=2\quad &\sqrt{2}\lt X\lt 4\quad &X=2,\;3\\[6pt]
&Y=3\quad &\sqrt{3}\lt X\leq 6\quad &X=2,\;3,\;4,\;5,\;6\\[6pt]
&Y=4\quad &2\lt X\leq 6\quad &X=3,\;4,\;5,\;6\\[6pt]
&Y=5\quad &\sqrt{5}\lt X\leq 6\quad &X=3,\;4,\;5,\;6\\[6pt]
&Y=6\quad &\sqrt{6}\lt X\leq 6\quad &X=3,\;4,\;5,\;6\end{align*}\]
 合計すると $19$ 通りなので、
 $X\lt Y^2$ かつ $X^2\gt Y$ となる確率は $\displaystyle\frac{19}{36}$ となります。

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