2 項係数の平方の和

[問題 PS-13] 2 項係数の平方の和

 次の等式を証明してください。
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]

(名古屋市大)

 
 

ヒント (2 項係数の平方をつくるには?)

 2 項係数を平方して足し加えると、とてもきれいな形で表されるのです。
 一見すると簡単そうに見えますが、取っ掛かりが掴めないと意外と苦戦するかもしれません。2 項定理を使うのは当然として、どのように 2 項係数の平方を作り出すかがポイントになります。 ≫ 2 項定理についてはこちらを参照してください。
 

解答 PS-13 (2 項定理を用います)

 2 項係数 ${}_n\mathrm{C}_r$ は $(1+x)^2$ の展開式における $x$ の係数として現れます:
 
\[(1+x)^n=\sum_{r=0}^n{}_n\mathrm{C}_r\:x^{\:r}\]
 そこで、2 項係数の平方をつくるために
 
\[(1+x)^n\,(1+x)^n\]
という式の展開を考えると、$x^n$ の係数は
 
\[{}_n\mathrm{C}_r\,x^{r}\,{}_n\mathrm{C}_{n-r}\,x^{n-r}\]
として現れてくるはずです。$r$ を $0$ から $n$ まで動かして係数をすべて足し合わせると
 
\[{}_n\mathrm{C}_0\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_n+{}_n\mathrm{C}_1\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_{n-1}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_{n-r}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\,\cdot\,{}_n\mathrm{C}_0\]
となります。${}_n\mathrm{C}_{n-r}={}_n\mathrm{C}_r$ の公式を用いると
 
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}\]
となって、問題で与えられた式の左辺を得られます。次に $(1+x)^{2n}$ を 2 項展開すると、
 
\[(1+x)^{2n}=\sum_{r=0}^n{}_{2n}\mathrm{C}_r\:x^{\:r}\]
なので、$x^n$ の係数は
 
\[{}_{2n}\mathrm{C}_n=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]
となります。よって、
 
\[{}_n\mathrm{C}_0^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_1^{\,2}+{}_n\mathrm{C}_2^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_r^{\,2}+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n^{\,2}=\frac{(2n)!}{n!\,n!}\]
が示されました。<証明終>

 ≫ [問題14] 2 個のサイコロを投げます ≫ 確率統計演習問題

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