3次の項を含む連立方程式

[問題 AG-21] 3次の項を含む連立方程式

 \(x^3+y^3=x^2+y^2=x+y\) を解いてください。(関西学院大)

問題 AG-21 のヒント

 どう考えたって (x, y) = (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 以外の解はありそうにないですけど、それを確認するためにも、とにかく解いてみるしかありません。

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問題 AG-21 の解答

 x + y = z とおいて2つの変数を1つにまとめてしまえれば楽になりそうです。
 そのためには x + y を2乗したり3乗したりする必要があります。
 ただし、そのときに出てくる x y という項も z で表さなくてはなりません。
 大まかな方針が決まったところで解答に進みましょう。
 まずは x2 + y2 = x + y の方程式から変形してみます。
 式の途中で x + y = z に置き換えます。
 
\[\begin{align*}&x^2+y^2=x+y\\[6pt]
&(x+y)^2-2xy=x+y\\[6pt]
&z^2-2xy=z\\[6pt]
&\therefore xy=\frac{z^2-z}{2}\end{align*}\]
 次に x3 + y3 = x + y を変形します。
 
\[\begin{align*}&x^3+y^3=x^2+y^2\\[6pt]
&(x+y)^3-3xy\:(x+y)=x+y\\[6pt]
&z^3-3\:\frac{z^2-z}{2}z=z\\[6pt]
&z^3-3z^2+2z=0\\[6pt]\end{align*}\]
 ようやく z の方程式を得たので、これを解きます。
 
\[z\:(z-1)(z-2)=0\]
より z = 0, 1, 2 を得ます。あとは値ごとに場合分けします。

(ⅰ) z = 0 のとき
 
\[x+y=0,\quad xy=0\]
なので、この方程式を満たすのは (x, y) = (0, 0) のみです。

(ⅱ) z = 1 のとき
 
\[x+y=1,\quad xy=0\]
となって、 (x, y) = (1, 0) , (0, 1) が解となります。

(ⅲ) z = 2 のとき
 
\[x+y=2,\quad xy=1\]
となるので y を消去すると
 
\[x^2-2x+1=0\]
ですから、(x, y) = (1, 1) が解となります。

 以上より与えられた方程式を満たす x, y は
 
\[(x,y)=(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad (1,1)\]
となります。予想通りの答えでしたね。

 ≫ [問題22] 接点の間の距離 ≫ 数学演習問題

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