4 項数列の集合体

[問題 PS-05] $4$ 項数列の集合体

 各項が $1,\;2,\;3$ のどれかであるような項数 $4$ の数列 $(a_1,\;a_2,\;a_3,\;a_4)$ の集合体を $S$ とします。
(1) $S$ に属する数列は何個ありますか。
(2) $S$ に属する数列で $a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4$ を満たすものは何個ありますか。
(3) $S$ に属する数列で $1,\;2,\;3$ のすべてが現れるものは何個ありますか。
(4) $S$ に属する数列で $4$ 項の和が $10$ になるものは何個ありますか。

(東大 一部改)

 

問題 PS-05 のヒント

 (1) は重複順列(同じものを繰り返しとる順列)です。
 (2) は具体的に数え上げるしかありません。
 (3) は「どれか 2 つの項は同じである」と考えて分類します。

 ≫ 同じものを含む順列、重複順列についてはこちらのページを参照してください。
 

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解答 PS-05

(1) $a_1$ の選び方は $1\:\sim\:3$ のどれでもよいから $3$ 通りです。その各々に対して $a_2$ の選び方も $3$ 通りあります。$a_3,\;a_4$ についても同じように考えて、$S$ に属する数列の個数は全部で $3^4=81$ 個となります。

(2) 1つ1つ丁寧に調べていきます。$a_1=3$ のときは
 
\[a_2=a_3=a_4=3\]
の $1$ 通りしかありません。$a_1=2$ のときは
 
\[(a_2,\:a_3,\:a_4)=(2,\:2,\:2),\:(2,\:2,\:3),\:(2,\:3,\:3),\:(3,\:3,\:3)\]
の $4$ 通りです。$a_1=1$ のときは
 
\[\begin{align*}(a_2,\:a_3,\:a_4)=&\:(1,\:1,\:1),\:(1,\:1,\:2),\:(1,\:1,\:3),\:(1,\:2,\:2),\\[6pt]
&\:(1,\:2,\:3),\:(1,\:3,\:3),\:(2,\:2,\:2),\:(2,\:2,\:3),\\[6pt]
&\:(2,\:3,\:3),\:(3,\:3,\:3)\end{align*}\]
の $10$ 通りとなります。したがって、題意を満たす数列は合わせて $15$ 個あります。

(3) 数列 $(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4)$ が $1,\:2,\:3$ のすべてをとるということは、必ず同じ数字が $2$ つ含まれているということです。すなわち、それらの数列は
 
\[\{1,\:1,\:2,\:3\},\;\{1,\:2,\:2,\:3\},\;\{1,\:2,\:3,\:3\}\]
の $3$ 組のうちのどれかを並び替えたものとなっているはずです。このうち の1組についての並べ方は $4$ 個の中に同じものを $2$ 個含む順列の数なので、

$\displaystyle\frac{4!}{2!}=12$ 通り

となります。よって、題意を満たす数列は全部で $36$ 個あります。

(4) $4$ 個の数字を合計して $10$ になる組合せは

\[\{1,\:3,\:3,\:3\},\;\{2,\:2,\:3,\:3\}\]
だけです。$\{1,\:3,\:3,\:3\}$ の並べ方は $4$ 個の中に同じものを $3$ 個含む順列、$\{2,\:2,\:3,\:3\}$ の並べ方は $4$ 個の中に同じものを $2$ 個ずつ含む順列なので、題意を満たす数列は

$\displaystyle\frac{4!}{3!}+\frac{4!}{2!2!}=10$ 個

となります。 ≫ 部屋割りの方法 ≫ 確率統計演習問題

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