4つの未知数を組合わせます

[問題 AG-20] 4つの未知数を組合わせます

 4つの未知数 \(a,\:b,\:c,\:d\) が
\[a+b=1,\quad ab=2,\quad c+d=4,\quad cd=8\]という関係を満たすとき、
\[A=ac+bd,\quad B=ad+bc\]で表される A, B を求めてください。

問題 AG-20 のヒント

 条件から \(a,\:b\) を解とする2次方程式をつくって \(a,\:b\) を求めることはできますが、このようにして求めた \(a,\:b,\:c,\:d\) を使って A, B の値を求めるのはかなり面倒です。もっと別の方法を考えたほうがよさそうです。いったん方針が定まるとパズルのようにするする解けますよ。

チャート式センター試験対策数学1A 2B

中古価格
¥2,625から
(2017/8/30 21:47時点)

問題 AG-20 の解答

 A と B を加えてみると
 
\[A+B=a\:(c+d)+b\:(d+c)=(a+b)(c+d)=4\]
となります。次に A と B の積をつくると
 
\[AB=(ac+bd)(ad+bc)=a^2cd+abc^2+abd^2+b^2cd\]
 ここで ab = 2, cd = 8 を入れて
 
\[AB=8\:(a^2+b^2)+2\:(c^2+d^2)\]
と表すことができます。ここで
 
\[\begin{align*}a^2+b^2=&\:(a+b)^2-2ab=3\\[6pt]
c^2+d^2=&\:(c+d)^2-2cd=0\end{align*}\]
ですから、 AB = -24 となります。 A, B を解とする方程式は
 
\[x^2-(A+B)\:x+AB=0\]
ですから、 A + B = 8 と AB = -24 を代入すると
 
\[x^2-4x+24=0\]
となるので、これを解いて
 
\[x=2 \pm 2\sqrt{5}i\]
を得ます。したがって、
 
\[A=2+2\sqrt{5}i,\quad B=2-2\sqrt{5}i\]
 あるいは
 
\[A=2-2\sqrt{5}i,\quad B=2+2\sqrt{5}i\]
となります。 ≫ [問題21] 3 次の項を含む連立方程式 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。