a + b, a - b, ab が互いに素であることを示します

[問題 NT-24] a + b, a - b, ab の最大公約数

 整数 $a,\:b$ の最大公約数が $g$ であることを $(a,\:b)=g$ のように表し、$a,\:b,\:c$ の最大公約数が $h$ であることを $(a,\:b,\:c)=h$ と表記します。$(a,\:b)=1$ (つまり互いに素)であるときに、

(1) $(a+b,\:a-b)\leq 2$ を示してください。

(2) $(a+b,\:a-b,\:ab)=1$ を示してください。
 

解答の準備

 たとえば (9, 4) というペアで試してみると

(9 + 4, 9 - 4, 9・4) = (13, 5, 36)

となって確かに最大公約数は 1 です。 9 の約数 3 と 4 の約数 2 はどちらも 9 + 4, 9 - 4 のいずれの約数にもなりえないからです。一見して当たり前の事実ではありますけど、丁寧に一般論を証明してみましょう。

ケプラーの八角星 不定方程式の整数解問題 (ブルーバックス)

問題 NT-24 の解答

 (1) $(a+b,\:a-b)=g$ とおくと、
 
\[a+b=kg,\;a-b=lg\quad (k\gt l)\]
のように表すことができるので、
 
\[2a=(k+l)g,\;2b=(k-l)g\]
となって、$g$ は $2a$ と $2b$ の公約数であることがわかります。したがって
 
\[(2a,\:2b)=2(a,\:b)\]
は $g$ を約数にもつので、$(a,\:b)=1$ より、$2$ が $g$ を約数にもつことになるので、$g\leq 2$ となります 。(証明終)

(2) $a+b,\:a-b,\:ab$ の最大公約数を $h$ とします。すなわち
 
\[(a+b,\:a-b,\:ab)=h\]
とおきます。(1) の結果より、$(a,\:b)=1$ のとき、$h$ は $1$ または $2$ のどちらかです。仮に $h=2$ であるなら、$ab$ が素数 $2$ を約数にもつので、

 ① $a$ が $2$ を約数にもつ
 ② $b$ が $2$ を約数にもつ

のどちらかであり、両方が成立することはありえません。ここで仮定により $a+b$ も $2$ を約数にもっているので、
 
\[a+b=2k\]
とおいてみます。すると $a$ が $2$ を約数にもつとき $a=2l$ として
 
\[b=2(k-l)\]
のようになりますから $b$ もまた $2$ を約数にもつことになります。同様に $b$ が $2$ を約数にもつならば $a$ も $2$ で割り切れなくてはなりません。これは $(a,\:b)=1$ に矛盾するので、$h=1$ であることがわかります。よって
 
\[(a+b,\:a-b,\:ab)=1\]
となります。(証明終)

 ≫ [問題25] 素数 p と正の整数 a, b ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメント

  1. さらさら より:

    gが合成数の場合(a,bが互いに素なら結局はgは1にしかならないが証明途中の話)、gの約数のうちの一つはaの約数で別の一つはbの約数ということもあり得るのでgは素数としておいたほうが良いのではないかとと思ったのですがgがa+bとa-bの公約数でもある時点でgはbの約数で決まりだと思ったり。いずれにしてもbは素数としておいたほうが無難だと思います。

    • Blog Cat より:

       御指摘の通り、当記事の解答は完全に誤りでした。急いで検証したところ、この定理は最初に (a+b,a-b)≦2 を示さなくてはならないようです。問題文・解答ともに明日までに修正します。誠に申し訳ありませんでした。

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。