ある方程式の解の絶対値を解にもつ2次方程式を見つけます

[問題 AG-19] ある方程式の解の絶対値を解にもつ2次方程式

(1) 2次方程式
\[x^2+px+mq=0 \qquad [\mathrm{A}]\]の解の絶対値を解にもつ2次方程式 [B] を求めなさい。

(2) \(p=2,\:q=1\) としたとき、
  方程式 [A] と [B] と、それぞれの解を求めてください。

問題 AG-19 のヒント

 問題文通りに素直に解答を進めてゆけば解けるはずです。
 (2) は具体例で感覚を掴んでもらおうと添えた簡単な問題です。

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問題 AG-19 の解答

 2つの解を α, β とすると、解と係数の関係を用いて
 
\[\alpha+\beta=-p,\quad \alpha\beta=q \qquad[1]\]
と書けます。 α, β の絶対値を解にもつ2次方程式は
 
\[x^2-(|\alpha|+|\beta|)\:x+|\alpha||\beta| \qquad[2]\]
と表すことができます。ここで α + β を計算するために α + β の平方を計算します。
 
\[\begin{align*}(|\alpha|+|\beta|)^2=\:&\alpha^2+2\:|\alpha||\beta|+\beta^2\\[6pt]
=\:&(\alpha+\beta)^2-2\:\alpha\beta+2\:|\alpha||\beta|\\[6pt]
=\:&p^2-2q+2|q|\end{align*}\]
 したがって
 
\[|\alpha|+|\beta|=\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)},\quad |\alpha||\beta|=q\]
となるので、これを [2] に代入して
 
\[x^2-\sqrt{p^2+2\:(|q|-q)}\:x+|q| \qquad [B]\]
という方程式を得ることができます。

(2) p = 2, q = 1 を代入すると方程式 [A] と [B] は
 
\[\begin{align*}&x^2+2x+1=0 \qquad [A]\\[6pt]
&x^2-2x+1=0 \qquad [B]\end{align*}\]
となります。方程式 [A] の左辺を因数分解すると
 
\[(x+1)^2=0\]
ですから、その解は \(x = -1\) となります。方程式 [B] は
 
\[(x-1)^2=0\]
となって解は \(x = 1\) となり、 [A] の解の絶対値となっています。

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