代数学問題集 Problems in Algebra

 AG-01 無理数であることの証明
 AG-02 a + b √2 + c √3 = 0 をみたす有理数 a, b, c の条件は?
 AG-03 tan1° は無理数であることの証明
 AG-04 2 項展開します
 AG-05 分母の有理化
 AG-06 √3 を連分数展開します
 AG-07 直交座標上の三角形の面積
 AG-08 連立方程式の自然数解
 AG-09 等式を証明します
 AG-10 不等式を証明します

 AG-11 平方根の和と和の平方根
 AG-12 4つの数の間で成り立つ相加平均と相乗平均
 AG-13 2 つの未知数を含む 2 次方程式
 AG-14 少なくとも1つの実数解をもつことの証明
 AG-15 係数に複素数を含む2次方程式
 AG-16 1つの解が他の解の平方となっています
 AG-17 2解の比が1:2になるように定めます
 AG-18 1次式の積に因数分解します
 AG-19 絶対値を解とする2次方程式
 AG-20 4つの未知数を組合わせます

 AG-21 3次の項を含む連立方程式
 AG-22 円の接点の間の距離を求めます
 AG-23 2つの虚数解をもつ4次方程式
 AG-24 連立方程式を解いて x, y, z を求めます
 AG-25 黄金比を計算します
 AG-26 貴金属数を求めます
 AG-27 因数定理を用いて次数 n を定めます
 AG-28 2 重根号が並んでいます
 AG-29 三辺の長さの和が一定である三角形

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代数学とは?

 中高生の皆さんには代数学(algebra)という言葉はあまり聞き慣れないかもしれませんが、実のところ、初等代数学は中学・高校数学の根幹をなす分野です。具体的に言うと、正負の概念に始まって、文字式の計算、 1 次方程式や 2 次方程式の解法、複素数の扱い方などがこの分野に属します。授業やテストでいやというほど教え込まれる内容ですね!

 代数学とは読んで字の如く「数の代わりになるもの」を扱う分野です。「数の代わりになるもの」とはもちろん、a や b, x や y などの文字のことです。数学では文字を使うことによって、たくさんの法則を見つけることができます。たとえば具体的な数字だけで当てずっぽうに

1 + 3 = 4, 3 + 5 = 8, 11 + 29 = 40

ということを書き並べて「奇数同士を足すと偶数になるようだ」と推測することはできますが、全ての数について試したわけではないので、それは推測の域を出ないわけです。数はとてもたくさん(無限に)あるので、全ての数について確かめることなど到底不可能に思えます。ところが数字の代わりに文字を使ってみると、

(2 m + 1) + (2 n + 1) = 2 (m + n + 1)

というように、「どのような奇数を 2 つもってきて足し合わせても偶数になる」ということが、たった 1 行の式でわかってしまうのです! これは無限にある数をすべてもってきて試してみたのと同じ意味と価値があるのです。本当に驚きですね! 私たちは学校で習っているので、上のような式にも慣れっこになってしまって、「そんなの当たり前でしょ」と考える人もいるかもしれませんが、誰にも習わずに最初にこんなことを思いついた人は大天才だと思いませんか?

 実際のところ、代数学と他の分野の境界はとても曖昧です。整数論は扱う対象が整数に限っているだけで、やはり代数的な方程式を解きますし、微分積分は代数学を基礎にして論理が展開されます(入試でよく扱われる平面上の曲線などは代数方程式で表されます)。そもそも、a や b, x や y といった文字を使わない分野はほとんどないはずです。およそ数学の大部分は「代数的」といっていいかもしれません。なので、中高で扱う初等代数学はそうした様々な分野の土台となるべきもの、と考えたほうがわかりやすいかもしれません。このコーナーでもそうしたスタンスで、初等代数学について、なるべくその数学的本質に迫るような問題を掲載していく予定です。

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