2次式を1次式の積に因数分解します

[問題 AG-18] 2次式を1次式の積に因数分解します

 2次式 \(P=x^2-(2m-3y)x+my^2-5y+3\) が1次式の積に因数分解できるように整数 \(m\) を定めてください。

問題 AG-18 のヒント

 1次式となるための条件を考えましょう。最終的には m に関する3次方程式が得られるはずですが、 m が整数であるという条件があるので、解を得るのはそれほど難しくありません。

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問題 AG-18 の解答

 P = 0 とおいた2次方程式の解は
 
\[x=\frac{3y-2m \pm \sqrt{D_1}}{2}\]
となります。ここに D1
 
\[D_1=(2m-3y)^2-4(my^2-5y+3)\]
です。これを y について整理すると
 
\[D_1=(9-4m)y^2+4(5-3m)y+4(m^2-3)\]
となります。 P を (x-α)(x-β) のように因数分解したときに、 ( ) の中身が x と y の1次式であるためには、 D1
 
\[D_1=(x-\gamma)^2\]
という形になっている(方程式 D1 = 0 が重解をもつ)必要があります。ややこしいですけど判別式 D1 の判別式 D2/4 = 0 が条件となります。
 
\[\frac{D_2}{4}=4(3m-5)^2+4(m^2-3)(4m-9)=0\]
 これを整理すると
 
\[2m^3-21m+26=0\]
という方程式を得ることができます。整数解を求めるので、もう少し書き換えて
 
\[m(21-2m^2)=26\]
とします。右辺の数字 26 は
 
\[26=1 \cdot 26,\quad(-1) \cdot (-26),\quad2 \cdot 13,\quad(-2) \cdot (-13)\]
と分解できますが、方程式を満たすのは
 
\[m=2,\quad 21-2m^2=13\]
という組合せだけです。よって \(m=2\) が答えとなります。

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