交代級数と絶対収束級数/条件収束級数

 ある条件のもとで交代級数が収束することを示し、また絶対収束と条件収束の定義について解説します。
 

交代級数 Alternating series

 各項の符号が交互に入れ替わる次のような無限級数を考えてみます。
 
\[S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\:\cdots\:+\frac{1}{2m}+\:\cdots\]
 これだけ見ても、足される部分と引かれる部分の寄与の大きさがわからず、+∞ あるいは -∞ に発散するのか、それともどこか適当な値に収束するのか、よくわかりません。丁寧に調べてみましょう。まず偶数項までの部分和をとってみます。2 項ずつ ( ) で括ってみると
 
\[S_{2m}=\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\:\cdots\:+\left( \frac{1}{2m-1}-\frac{1}{2m}\right)\]
 ( ) の中は全て正ですから、$S_{2m} \gt 0$ であることがわかります。また
 
\[S_{2m}=1-\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right) +\:\cdots\:+\left(\frac{1}{2m-2}-\frac{1}{2m-1}\right)+\frac{1}{2m}\right]\]
と書くこともできます。( ) の中は全て正なので $S_{2m} \lt 1$ です。つまり $S_{2m}$ の値は
 
\[0\lt S_{2m}\lt 1\]
の範囲に制限されていて、
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}S_{2m}=\alpha\quad (0\lt \alpha\lt 1)\]
であることがわかります。奇数項の場合は、
 
\[S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\]
なので、偶数項までの和に 1 より小さな数を加えるだけです。つまり
 
\[0\gt S\lt 2\]
となって、この級数が収束することがわかります。一般的な交代級数については、以下の事実が知られています。

 非負の実数 $a_n$ を用いて表される級数
\[S=a_1-a_2+a_3-a_4+\:\cdots\:+a_n+\:\cdots\]を交代級数 (alternating series) と定義します。

 ① $a_{n+1}\leq a_n$  ② $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$

という条件を満たしているとき、交代級数は収束します。

交代級数が収束することの証明

 偶数項までの部分和をとると
 
\[S_{2m}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+\:\cdots\:+(a_{2m-1}-a_{2m})\]
と書くことができます。( ) の中は非負なので $S_{2m}\geq 0$ であることがわかります。また
 
\[S_{2m}=a_1-[(a_2-a_3)+(a_4-a_5)+\:\cdots\:+(a_{2m-2}-a_{2m-1})+a_{2m}]\]
と表すと、( ) の中は全て非負なので $S_{2m}\leq a_1$ となります。よって
 
\[0\leq S_{2m}\leq a_1\]
となって、数列 $\{S_{2m}\}$ は 有界な単調増加数列なので収束します
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}S_{2m}=\alpha\quad (0\leq \alpha\leq 1)\]
 また奇数項については、
 
\[S_{2m+1}=S_{2m}+a_{2m+1}\]
と書けるので、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ より
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}S_{2m+1}=\alpha\]
となって同じ値に収束することがわかります。
 

絶対収束級数 Absolutely convergent series

 任意の符号をもつ $a_n$ からつくられる級数
 
\[S=\sum a_n=a_1+a_2+\:\cdots\:+a_n+\:\cdots\]
の各項の絶対値をとった級数
 
\[T=\sum |a_n|=|a_1|+|a_2|+\:\cdots\:+|a_n|+\:\cdots\]
が収束するとき、$S$ は 絶対収束する といい、またこのような級数のことを 絶対収束級数 (absolutely convergent series) とよびます。

 $T=\sum |a_n|$ が収束するならば、$S=\sum a_n$ は必ず収束します。

[証明] $S$ と $T$ の部分和をそれぞれ
 
\[\begin{align*}S_n&=\sum a_n=a_1+a_2+\:\cdots\:+a_n\\[6pt]
T_n&=\sum |a_n|=|a_1|+|a_2|+\:\cdots\:+|a_n|\end{align*}\]
とおいて加えると
 
\[\begin{align*}S_n+T_n&=(a_1+|a_1|)+(a_2+|a_2|)+\:\cdots\:+(a_n+|a_n|)\\[6pt]
&\leq 2(|a_1|+|a_2|+\:\cdots\:+|a_n|)
\end{align*}\]
 $a_n+|a_n|\geq 0$ なので $S_n+T_n$ は有界な単調増加数列であって、$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(S_n+T_n)$ は収束します。よって $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}S_n$ は収束します。

Σ(1/22)

 たとえば
 
\[S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}-\frac{1}{2^4}+\:\cdots\]
という交代級数を考えてみます。各項の絶対値をとった級数は
 
\[T=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\:\cdots\:+\frac{1}{2^n}+\:\cdots\]
となります。部分和をとると
 
\[T_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\:\cdots\:+\frac{1}{2^n}\]
 $T_n$ から $T_n/2$ を引いてみると
 
\[\begin{align*}T_n-T_n/2=&\:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\:\cdots\:+\frac{1}{2^n} \right)\\[6pt]
&-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\:\cdots\:+\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}\right) =\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}\end{align*}\]
となります。すなわち
 
\[T_n=1-\frac{1}{2^n}\]
なので $T=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}T_n=1$ となります。したがって級数 $S$ は絶対収束します。
 

条件収束級数 Conditionally convergent series

 任意の符号をもつ $a_n$ からつくられる級数
 
\[S=\sum a_n=a_1+a_2+\:\cdots\:+a_n+\:\cdots\:+\]
は収束しても、各項の絶対値をとった級数
 
\[T=\sum |a_n|=|a_1|+|a_2|+\:\cdots\:+|a_n|+\:\cdots\:+\]
は収束しないとき、$S$ は条件収束する といい、またこのような級数のことを 条件収束級数 (conditionally convergent series) とよびます。 ≫ 数学辞典

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