曲線の長さを計算する積分公式を導きます

 

曲線の長さ Arc length

 下図のように区間 $[a,\:b]$ を $n$ 個の小区間に分割します。

 excel曲線の長さ

 $\Delta x=x_k-x_{k-1}$ が十分に小さければ、弧長 $P_{k-1}P_k$ は線分 $P_{k-1}P_k$ で近似できます。$\Delta y_k=f(x_k)-f(x_{k-1})$ とすれば、
 
\[P_{k-1}P_k=\sqrt{(\Delta x_k)^2+(\Delta y_k)^2}=\sqrt{1+\left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k\]
 平均値の定理によって、傾き $\Delta y_k/\Delta x_k$ と等しい $f'(c_k)\:(x_{k-1}\lt c_k\lt x_k)$ が存在します。このような小さな線分 $P_{k-1}P_k$ をつなぎ合わせれば曲線 $AB$ の長さを近似できます。さらに分割数を無限にすれば、その極限値は曲線 $AB$ の長さと完全に一致して、

\[L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k=\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx\]

という積分で与えられることになります。

放物線の長さ

 放物線 (2 次関数) $f(x)=x^2$ の $x=0$ から $x=1$ までの曲線の長さを求めてみましょう。$f'(x)=2x$ なので
 
\[L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4x^2}dx\]
を積分すればよいことになります。そのためには
 
\[\int\sqrt{1+a^2x^2}dx=\frac{1}{2a}\left\{ ax\sqrt{1+a^2x^2}+\log (ax+\sqrt{1+a^2x^2})\right\}\]
という公式を使います(こんなものを覚えていられるわけはないので、公式集などから引っ張ってくるのです)。グラフの形から曲線の長さは $\sqrt{2}=1.414$ を少し超えるぐらいだと予測できます。実際に計算してみると
 
\[L=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{4}\log (2+\sqrt{5})=1.4789\]
が得られます。

媒介変数表示の曲線の長さ
 Arc Length with Parametric Equations

 曲線の方程式が媒介変数 $t$ を用いて
 
\[x=f(t),\quad y=g(t)\]
で与えられている場合、下図のように区間を $n$ 等分します。

 excel媒介変数曲線の長さ

 このとき、$P_{k-1}$ と $P_k$ の座標はそれぞれ
 
\[P_{k-1}(f(t_{k-1}),\:g(t_{k-1})),\quad P_k(f(t_k),\:g(t_k))\]
で表されるので、線分 $P_{k-1}P_k$ の長さは
 
\[P_{k-1}P_k=\sqrt{\{f(t_k)-f(t_{k-1})\}^2+\{g(t_k)-g(t_{k-1})\}^2}\]
で与えられます。平均値の定理より
 
\[\begin{align*}
f(t_k)-f(t_{k-1})=(t_k-t_{k-1})f'(p_k)\quad (t_{k-1}\lt p_k\lt t_k)\\[6pt]
g(t_k)-g(t_{k-1})=(t_k-t_{k-1})g'(q_k)\quad (t_{k-1}\lt q_k\lt t_k)
\end{align*}\]
を満たす $p_k,\:q_k$ が存在するので、
 
\[P_{k-1}P_k=(t_k-t_{k-1})\sqrt{\{ f'(p_k)\}^2+\{ g'(q_k)\}^2}\]
 この小さな線分を全て足し合わせると曲線の長さの近似式となります。
 
\[L\simeq\sum_{k=1}^{n}(t_k-t_{k-1})\sqrt{\{ f'(p_k)\}^2+\{ g'(q_k)\}^2}\]
 $t$ の動く範囲を $\alpha\leq t\leq \beta$ として、$n\rightarrow \infty$ の極限をとると

\[L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\{ f'(t)\}^2+\{ g'(t)\}^2}dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]

という公式が得られます。

アステロイドの長さ

 アステロイド(星芒形)を描く方程式は
 
\[x=a\cos^3t,\quad y=\sin^3t\quad\]
で与えられます。

 excelアステロイド

 第一象限 $(0\leq t\leq\pi/2)$ における曲線の長さを求めてみましょう。
 
\[\frac{dx}{dt}=-3a\cos^2t\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=3a\sin^2t\cos t\]
なので
 
\[\begin{align*}L&=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\\[6pt]
&=\int_{0}^{\pi/2}3a\cos t\sin tdt=\left[\frac{3a}{2}\sin^2t\right]_{0}^{\pi/2}=\frac{3a}{2}\end{align*}\]
と計算できます。 ≫ 数学辞典

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