アルキメデスの原理

アルキメデスの原理 Archimedean Property

 上に有界な単調増加数列が収束する という定理から次の アルキメデスの原理 を導くことができます。

 任意の正の実数 $a,\:b$ について、$na \gt b$ を満たす自然数 $n$ が少なくとも 1 つは存在します。

 たとえば $a=0.1$ , $b=10$ としてみると、$n=200$ をとれば
 
\[200a= 20 \gt 10\]
となります。もちろん $n$ は $1000$ でも $10000$ でもいいのです。要はそういう $n$ が存在するということです。なんだか当たり前のことを言っているに過ぎないように思えますが、この定理は $n\rightarrow \infty$ としたときに有効にはたらきます。アルキメデスの原理によると、どれほど大きな $b$ に対しても
 
\[na \gt b\]
が成り立っているのですから、$b$ を無限に大きくすると $na$ もやはり無限大となるはずです。つまりアルキメデスの原理は極限記号を用いて
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}na=\infty\]
と書き換えることができます。$a=1$ とすると
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}n=\infty\]
ですね。またアルキメデスの原理によって $n$ の逆数について
 
\[\frac{1}{n} \lt \frac{1}{b}\]
が任意の $b$ 、つまりどれほど小さな $1/b$ についても成り立っているので、
 
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0\]
がいえます。

アルキメデスの原理の証明

 証明には背理法を用います。
 $a_n=na$ で表される数列 $\{a_n\}$ の上界に $b$ があるとします。
 上に有界な数列は上限(上界の最小値) $s=\mathrm{sup} \{a_n|n \in \mathbb{R}\}$ に収束します。
 つまりすべての自然数について
 
\[na \geq u\]
が成り立っています。$s$ は正の実数なので $s-a$ は数列 $\{a_n\}$ の上界ではありません。つまり
 
\[s-a \lt ka\]
となるような自然数 $k$ が存在します。つまり
 
\[s \lt (k+1)a\]
となり、上限であるはずの $s$ を超える $na$ が存在することになって矛盾します。したがって $b$ は上界ではなく、$na \gt b$ を満たす自然数 $n$ が存在することになります。

 ≫ 数学辞典

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