九九の数表を面積で表して数量イメージを掴みます

 九九表

 「九九」の数表です。懐かしいですね。昔は 7 × 8 = 56 など、いわゆる 4 桁の数字をずらずらとたくさん覚えたのですから、子供の記憶力とはすごいものです。大人になると 2 つか 3 つのパスワード覚えるだけで四苦八苦しますからね。

 実はこの「九九」の数表には数学の大切な仕組みが色々と隠されています。
 しばらくは、この数表に隠されているものを色々と探してみましょう。

 さて数学には、その問題によって「数」を「数量」のイメージで捉えるときと、「大きさ」のイメージによってアプローチするときがあります。「数量」は方程式を解く場合などで、「大きさ」は図形問題を扱う場合に主に用います。もちろんどちらも「数」であることに変わりないので、「数量」感覚でダメなら「大きさ(図形)」感覚に変えてアプローチし直したり、またその逆をしたりと、この2種のイメージ間を行ったり来たりします。
 

「九九」を面積でイメージします

 「九九」の数表は明らかに「数量」感覚ですが、これを図形的なイメージに変換すると下の図のようになります。

 九九の格子点

 0 × 0 を含めて縦横に格子点が全部で 100 個打たれています。
 図の赤い長方形を見てください。横に 7 つめ、そこから数えて縦に 3 つめの点を選べば、それは 7 × 3 に対応しています。その大きさは

赤い部分の面積 = 横 × 縦 = 7 × 3 = 21

というように面積でイメージすることができます。

左下隅を固定して右上隅にある格子点を選んで長方形を作る

というルールに従えば、図中のあらゆる格子点は 0 の列を除いて必ず「九九」に対応しています。「九九」のあれこれを実際にいくつか試して確認してください。
 

「九九」には同じ掛け算が含まれています

 「九九」の数表には、ある掛け算に対して、順番を変えるだけの掛け算が必ず対で存在していますね。

7 × 3 = 21, 3 × 7 = 21

などです。これを先ほどの図形版で見ると、赤い長方形と青い長方形が対応しています。同じ形と大きさで置いてある向きが異なるだけですね。このように掛け算は順序を変えても同じ結果が得られます。「当たり前でしょー」と思われるかもしれませんが、実は数学の世界には「順番を変えると異なった結果になってしまう」操作も存在しています。それはずっと先で扱いますが、「操作の順序」というのはとても大切な概念であることを頭の片隅に残しておいてください。
 

0 の列にも大切な意味があります

 一番下(縦の長さ 0 )や一番左(横の長さ 0 )に並ぶ格子点を選ぶと長方形を作ることはできません。潰れてしまって線分になり「面積は 0 」になってしまいます。

 九九の格子点線分

この図には、

0 にどのような数を掛けても 0 である

という 0 の性質が自然な形で表れていますね。

 今回はこのへんでおしまいにします。
 次回は引き続き「九九」の表を使って「平方数」を扱います。

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