非対称式の整数解(2 次式であることに着目します)

[問題 NT-02] 非対称式の整数解

 x2 -x y + 2 y2 = 7 を満たす整数解を求めてください。

問題 NT-02 のヒント

 2 次式であることに着目して ......

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問題 NT-02 の解答

 x に関する 2 次方程式と考えます。

x2 + (- y) x + 2 y2 - 7 = 0

 判別式 D を絞り込む手順として用います。

D = y2 - 4 (2 y2 - 7) = - 7 y2 + 28 ≧ 0  ∴ y2 ≦ 4

 y = 0 が方程式を満たしていないのは明らか(x2 = 7 を満たす整数はない)ので y の候補としては次の4つの数が挙げられます。

y = - 2, - 1, 1, 2

 順に代入して確かめていきます。 y = - 2 のとき

x2 + 2 x + 1 = 0  ∴ x = - 1

 y = -1 のとき

x2 + x - 5 = 0  整数解なし

 y = 1 のとき

x2 - x - 5 = 0  整数解なし

 y = 2 のとき

x2 - 2 x + 1 = 0  ∴ x = 1

 以上より、x2 -x y + 2 y2 = 7 を満たす整数解は

(x, y) = (- 1, - 2), (1, 2)

の2組となります。 ≫ [問題03] x3 + y3 = 72 ≫ 数学演習問題

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