(Ax+By+C)dx+(Bx+Cy+D)dy = 0 の一般解を求めます

[問題 DE-08] (Ax+By+C)dx+(Bx+Cy+D)dy = 0

 $(Ax+By+C)dx+(Bx+Cy+D)dy=0$ の一般解を求めてください。
 

問題 DE-08 のヒント

 解法手順は 完全微分型方程式の頁 を参照してください。ただし、この問題については $\varPhi$ の形をある程度予測できれば簡単に解けてしまいます。

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解答 DE-08

 与えられた微分方程式
 
\[(Ax+By+C)dx+(Bx+Cy+D)dy=0\tag{A}\]
が完全微分型であるためには、
 
\[P(x,y)=Ax+By+C,\quad Q(x,y)=Bx+Cy+D\]
について
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]
という条件式を満たしている必要があります。実際に計算してみると
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=B\]
となるので、(A) は完全微分型方程式であり、
 
\[\frac{\partial \varPhi}{\partial x},\quad\frac{\partial \varPhi}{\partial y}\]
を満たすような $\varPhi$ が存在することになります。そして、そのような $\varPhi$ は
 
\[\varPhi=\int_{a}^{x}P(s,y)ds+\int_{b}^{y}Q(a,t)dt+\Phi (a,b)+E\]
によって与えられます ($E$ は定数)。実際に計算してみると
 
\[\begin{align*}\varPhi&=\int_{a}^{x}(As+By+C)ds+\int_{b}^{y}(Ba+Ct+D)dt\\[6pt]
&=\frac{A}{2}x^2+Bxy+Cx+\frac{C}{2}y^2+Dy+F\end{align*}\]
となります。ただし定数項は $F$ にまとめておきました。一般解は $\varPhi=c$ で与えられるので、あらためて $G$ を定数として
 
\[\frac{A}{2}x^2+Bxy+Cx+\frac{C}{2}y^2+Dy+G=0\tag{A1}\]
が求める解となります。

問題 DE-08 の別解

 ところが、この問題では与えられた方程式
 
\[(Ax+By+C)dx+(Bx+Cy+D)dy=0\tag{A}\]
をよくみると、$x$ で微分して $Ax$ という項になるし、$y$ で微分して $Cy$ という項が現れるのだから、$k,\:l,\:m$ を定数として
 
\[\varPhi=\frac{A}{2}x^2+\frac{C}{2}y^2+kxy+lx+my=0\]
という形になるだろうと予測できます。試しに偏微分してみると
 
\[\begin{align*}\frac{\partial \varPhi}{\partial x}&=Ax+ky+l\\[6pt]
\frac{\partial \varPhi}{\partial y}&=Cy+kx+m\end{align*}\]
となるので、(A) と係数を比較して
 
\[k=B,\quad l=C,\quad m=D\]
がわかります。したがって
 
\[\frac{A}{2}x^2+Bxy+Cx+\frac{C}{2}y^2+Dy+G=0\]
という一般解を得られます。 ≫ [問題09] 完全微分型方程式② ≫ 微分方程式演習

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