ベルヌーイらせん(対数螺旋/等角螺旋)

 

ベルヌーイらせん Bernoulli Spiral

 次のような微分方程式を考えます。
 
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\tag{A}\]
 これは同次型なので、$y=ux$ とおくと $y '=u+xu '$ なので
 
\[u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}\]
となります。変数分離すると
 
\[\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x}\]
 すなわち
 
\[\left(\frac{1}{1+u^2}-\frac{u}{1+u^2}\right)du=\frac{dx}{x}\]
 両辺を積分すると
 
\[\mathrm{Arctan}\,u-\frac{1}{2}\log\,(1+u^2)=\log\,|x|+c\]
 変数を $y$ に戻して式を整理すると
 
\[\mathrm{Arctan}\,\left(\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\log\,(x^2+y^2)=c\tag{A1}\]
となります。ここで $x=r\cos \theta,\:y=r\sin \theta$ によって変数を極座標に変換すると、
 
\[\frac{y}{x}=\tan \theta,\quad x^2+y^2=r^2\]
となるので、これを (A1) に代入して
 
\[\log\,r=\theta -c\]
 $A=e^{-c}$ とおくと
 
\[r=Ae^{\theta}\]
という極座標表示の解が得られます。この形から明らかなように、動点は $\theta$ の増加とともに原点から遠ざかるので、解曲線はらせん状にになります。

 Excel(ベルヌイ螺旋、対数らせん、等角らせん)

 スイスの数学者ベルヌーイ (Bernoulli) によって発見されたことから、この曲線は ベルヌーイらせん(ベルヌイ螺旋) とよばれます。あるいはその形状から単に 対数らせん または 等角らせん とよばれることもあります。
 

同次型微分方程式の解の極座標表示

 ベルヌーイらせんの例で見たように、同次型方程式の解を極座標で表すことを考えてみます。結論から言うと、

 $x=r\cos \theta,\:y=r\sin \theta$ とおくと $y '=f(y/x)$ の解は
\[F(\theta)=\frac{f(\tan\theta)\tan\theta+1}{f(\tan\theta)-\tan\theta}\]を用いて
\[r=A\exp\left[\int F(\theta)d\theta\right]\]と表されます。

 これを証明してみましょう。
 $x$ は $r$ と $\theta$ の 2 変数関数なので、その微増分は全微分によって、
 
\[\begin{align*}
dx&=\frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r}dr+\frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta}d\theta\\[6pt]
&=dr\cos\theta-r\sin\theta d\theta\end{align*}\]
のように表されます。$dy$ についても同様にして
 
\[dy=dr\sin\theta+r\cos\theta d\theta\]
と表せます。したがって
 
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dr\sin\theta+r\cos\theta d\theta}{dr\cos\theta-r\sin\theta d\theta}=\frac{r '\tan\theta+r}{r '-r\tan\theta}\]
となります。ただし $r '=dr/d\theta$ とおきました。これを
 
\[\frac{dy}{dx}=f(y/x)=f(\tan\theta)\]
に代入して整理すると
 
\[\frac{dr}{d\theta}=\frac{f(\tan\theta)\tan\theta+1}{f(\tan\theta)-\tan\theta}r\]
となります。
 
\[F(\theta)=\frac{f(\tan\theta)\tan\theta+1}{f(\tan\theta)-\tan\theta}\]
とおくと、
 
\[\frac{dr}{d\theta}=rF(\theta)\]
 変数分離して解くと
 
\[r=A\exp\left[\int F(\theta)d\theta\right]\]
という解が得られます。

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極座標解の公式によってベルヌーイらせんを求めます

 ベルヌーイらせんを解にもつ微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}\tag{A}\]
に上の公式を適用してみます。
 
\[f(u)=\frac{1+u}{1-u}\]
なので、
 
\[f(\theta)=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}\]
 これを $F(\theta)$ の表式に代入すると
 
\[F(\theta)=\frac{1+\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}=1\]
となります。したがって
 
\[r=A\exp\left[\int d\theta\right]=Ae^{\theta}\]
という解が得られます。 ≫ 数学事典

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