ベータ関数 Beta function

ベータ関数の定義

 ベータ関数は次の積分形式で定義される関数です:
 
\[B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\tag{1}\]
 t ⇒ 1 - u という変数変換に対して x と y が入れ替わった表示になるので、ベータ関数は x と y に関して対称な関数であることがわかります:

B(x, y) = B(y, x)

 また B(x, y) はガンマ関数 Γ(x) と次のような関係式で結びついています:
 
\[B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}\tag{2}\]
 ここにガンマ関数 Γ(x) は
 
\[\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=A\tag{3}\]
で定義され、

Γ(1) = 1, Γ(1/2) = √π, Γ(x + 1) = xΓ(x)

というような性質をもっています。

 ベータ関数は x, y の 2 変数関数ですが、c = y とおいてパラメータとし、平面上に描いても充分にその様子を知ることができます。実際、ベータ関数のグラフの形そのものは単調な減少関数です:

 ベータ関数2次元グラフ

 図では c = y = 1, 3, 5 の場合の B(x, c) を表示しています。
 c の増加とともにグラフ全体が下に落ちていく様子が見えますが、もし縦軸を z とみなし、この平面に垂直に手前から奥に y 軸をとれば、x, y の正方向に向けて緩やかな下り斜面となっていることが想像できます。
 

ベータ関数を sinn θの積分に応用します

 ベータ関数の有名な応用法の1つとして、
 
\[I=\int_{0}^{\pi/2}sin^{n}\theta d\theta \tag{4}\]
の積分計算があります。この積分をベータ関数に帰着させるために

t = sin2θ

という変数変換を行うと、

cosθ = (1 - t)1/2, 2sinθcosθdθ = dt

ですから (4) は
 
\[I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t^{\frac{n-1}{2}}(1-t)^{-\frac{1}{2}}dt\] 
という形になります。 t および (1 - t) の指数部分を

(n - 1)/2 = n/2 + 1/2 - 1, - 1/2 = 1/2 - 1

とみてベータ関数に置き換えて計算すると
 
\[\begin{align*}
I&=\frac{1}{2}\; B\left ( \frac{n+1}{2},\; \frac{1}{2} \right )\\
&=\frac{1}{2}\frac{\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right ) \Gamma (\frac{1}{2})}{\Gamma \left ( \frac{n}{2}+1 \right )}=\frac{\sqrt{\pi}\; \Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )}{2\; \Gamma \left ( \frac{n}{2}+1 \right )}
\end{align*}\]
 ガンマ関数の計算法さえ心得ていれば機械的に積分を求めることができます。
 n = 0, 1, 2 について具体的に計算すると

I(0) = π/2, I(1) = 1, I(2) = π/4

となります。I を n の関数とみてグラフを描くと ......

 I=int(sinθ^n)グラフ

 n の増加に伴って減少していく関数です。
 参考のために y = sin3θ と y = sin19θ のグラフを付していますが、 n が大きくなると山や谷が細くなることがわかります。このように少しずつ面積が小さくなっていき、最終的(n → ∞)には 0 に収束してしまいます。

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