y' = ax(1+y^2), y' = (p+qx)(r+sy), ...

[問題 DE-02] 変数分離型微分方程式

 次の微分方程式を解いてください。

 (1) $y '=ax(1+y^2)$  (2) $y '=(p+qx)(r+sy)$

 (3) $y '=x(y-x^2+1)$  (4) $y'=y\sec ^2x$  (5) $y '=ax+by\quad (a,\:b\neq 0)$

問題 DE-02 のヒント

 $\sec x=1/\cos x$ です。(3) と (5) は変数変換して解きます。

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問題 DE-02 の解答

(1) $dy/dx=ax(1+y^2)$ を変数分離して両辺を積分すると
 
\[\int\frac{dy}{1+y^2}=\int axdx\]
となります。左辺は $\mathrm{Arctan}y$ となるので、
 
\[\mathrm{Arctan}y=\frac{a}{2}x^2+c\]
 したがって
 
\[y=\tan\left(\frac{a}{2}x^2+c\right)\]
という解が得られます。

(2) $s=0$ のときは
 
\[\frac{dy}{dx}=r(p+qx)\]
なので、
 
\[y=r\left(px+\frac{q}{2}x^2+c\right)\]
 $rc=A$ とおくと
 
\[y=r\left(px+\frac{q}{2}x^2\right)+A\]
となります。$s\neq 0$ のときは $dy/dx=(p+qx)(r+sy)$ を変数分離すると
 
\[\frac{dy}{r+sy}=p+qx\]
 両辺を積分すると
 
\[\frac{1}{s}\log\,|r+sy|=px+\frac{q}{2}x^2+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[y=-\frac{r}{s}+A\exp\left(px+\frac{q}{2}x^2\right)\]
となります。$r+sy=0$ に対応した特解 $y=-r/s$ は、$A$ を任意の定数とすれば、上の解に含めることができます。以上まとめると、与えられた微分方程式の解は
 
\[y=\begin{cases}r\left(px+\cfrac{q}{2}x^2\right)+A & (s=0)\\[6pt]
-\cfrac{r}{s}+A\exp\left(px+\cfrac{q}{2}x^2\right) & (s\neq 0)
\end{cases}\]
となります。

(3) $y '=x(y-x^2+1)$ において、$z=y-x^2+1$ とおくと
 
\[z'=x(z-2)\]
という方程式になります。変数分離して積分すると
 
\[\begin{align*}&\frac{dz}{z-2}=xdx\\[6pt]
&\log\mid z-2\mid=\frac{x^2}{2}+c\\[6pt]\end{align*}\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[z=2+A\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\]
 変数を $y=z-x^2+1$ に戻すと
 
\[y=1+x^2+A\exp\left(\frac{x^2}{2}\right)\]
となります。$z-2=0$ に対応する特解は $y=x^2+1$ ですが、これは上の式で $A=0$ とおいたものなので、$A$ を任意の定数とすれば、全ての解を含むことになります。

(4) $y'=\sec ^2xy$ を変数分離して
 
\[\frac{dy}{y}=\sec ^2xdx\]
 意外と忘れがちですが、$\sec ^2x$ の積分は $\tan x$ なので
 
\[\log\mid y\mid=\tan x+c\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[y=Ae^{\tan x}\]
となります。$y=0$ も与えられた微分方程式の特解となっていますが、上の解で $A$ を任意定数にして含めることができます。

(5) $y '=ax+by$ において $z=ax+by$ とおいて $y$ を消すと
 
\[z'=bz+a\]
という変数分離型になります。
 
\[\int\frac{dz}{bz+a}=\int dx\]
として
 
\[\begin{align*}\frac{1}{b}\log\,|bz+a|&=x+c\\[6pt]
\log\,|bz+a|&=bx+c '\end{align*}\]
 $A=\pm e^c$ とおくと、
 
\[bz+a=Ae^{bx}\]
 変数 $y$ を戻すと
 
\[y=-\frac{a}{b^2}-\frac{a}{b}x+Ae^{bx}\]
という解が得られます。$bz+a=0$ に対応する特解
 
\[y=-\frac{a}{b^2}-\frac{a}{b}x\]
は一般解において $A=0$ とすれば得られます。

 ≫ [問題03] 色々な解があります ≫ 微分方程式問題集

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