場合分けで色々な解を見つけます

[問題 DE-03] 色々な解があります

 $y '=k\,x^ay^b$ を解いてください ($k,\:a,\:b$ は定数)。

問題 DE-03 のヒント

 $a,\:b$ の値に応じて場合分けします。

 ≫ [Amazon 数学書籍] 力学と微分方程式 (数学書房選書)
 ≫ [Amazon 数学書籍] 関数とはなんだろう(三角関数から複素関数・超関数まで)

問題 DE-03 の解答

 与えられた微分方程式
 
\[\frac{dy}{dx}=kx^ay^b\tag{A}\]
を変数分離して積分した形にすると
 
\[\int\frac{dy}{y^b}=k\int x^adx\]
となります。まず左辺の積分については $b$ の値に応じて
 
\[\begin{align*}
&\int\frac{dy}{y^b}=\int\frac{dy}{y}=\log\,|y|\qquad\qquad (b=1)\\[6pt]
&\int\frac{dy}{y^b}=\int y^{-b}dy=\frac{1}{1-b}y^{1-b}\quad (b\neq 1)\end{align*}\]
と場合分けされます。右辺については $a$ の値によって
 
\[\begin{align*}&k\int x^adx=k\int\frac{dx}{x}=k\log\,|x|\quad (a=-1)\\[6pt]
&k\int x^adx=\frac{k}{1+a}x^{1+a}\qquad\qquad (a\neq -1)\end{align*}\]
と、やはり2通りに場合分けされます。したがって解には(特殊解 $y=0$ を除いて) 2 × 2 = 4 通りの組合せがあります。それぞれの場合について解を求めてみましょう。

① $a=-1,\:b=1$ のとき
 
\[\log\,|y|=k\log\,|x|+c\]
となるので、$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=Ax^k\]
という解が得られます。

② $a\neq -1,\:b=1$ のとき
 
\[\log\,|y|=\frac{k}{1+a}x^{1+a}+c\]
なので、$A=\pm e^c$ とおくと
 
\[y=A\exp\left(\frac{k}{1+a}x^{1+a}\right)\]
となります。

③ $a=-1,\:b\neq 1$ のとき
 
\[\frac{1}{1-b}y^{1-b}=k\log\,|x|+c\]
 $A=c(1-b)$ とおくと
 
\[y^{1-b}=\log\,|x|^{k(1-b)}\]
となります。

④ $a=-1,\:b\neq 1$ のとき
 
\[\frac{y^{1-b}}{1-b}=\frac{k}{1+a}x^{1+a}+c\]
 $A=c(1-b)$ とおくと
 
\[y^{1-b}=k\left(\frac{1-b}{1+a}x^{1+a}\right)+A\]
となります。

 以上まとめると与えられた微分方程式の解は
 
\[\begin{cases}y=Ax^k & (a=-1,\:b=1)\\[6pt]
y=A\exp\left(\cfrac{k}{1+a}x^{1+a}\right) & (a=-1,\:b=1)\\[6pt]
y^{1-b}=\log\,|x|^{k(1-b)} & (a=-1,\:b\neq 1)\\[6pt]
y^{1-b}=k\left(\cfrac{1-b}{1+a}x^{1+a}\right)+A & (a=-1,\:b\neq 1)\end{cases}\]
となります。また $b\gt 0$ のときは $y=0$ も微分方程式の解となっています。

 ≫ [問題04] yy' = xexp(x^2+y^2) ≫ 微分方程式問題集

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。

このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください