円を描きながら別の運動もします

 前回扱った方程式をもう少し一般化して、

x(t) = cost + f(t), y(t) = sint + g(t)

としてみます。これは全体として円を描きながらも、何か他の動きもしているという方程式です。前回は円と円、円と楕円の組合せを見ましたが、今回は f(t), g(t) にもっと色々な関数を試してみます。
 

傾いていきます

 f(t), g(t) を次のように定めます。

f(t) = 0.1 sint, g(t) = 0.1 t cost

 0 ≦ t ≦ 8π としてグラフを描いてみると

 ExcelGraph傾く楕円

 青い矢印は動点の動く方向です。少しずつ細くなりながら傾いてゆく楕円のような曲線を描いていますね。
 

巻きつきます

 1 / t という因子を組み込んでみます。

f(t) = sint / t, g(t) = cost / t

 x(t), y(t) のグラフを描くと

 ExcelGraph巻きつく円

 遠くから動点がやってきて、巻きつくように円に近い軌道を描きます。
 t → 0 で x(t), y(t) → ∞ ですから、軌跡の端点は無限の彼方にあります。
 また、t → ∞ で f(t), g(t) → 0 なので、最終的には真円に収束します。
 

ずれていきます

 今度は対数関数を組み込んで

f(t) = 0.2 logt, g(t) = 0.2 logt

としてみます。

 ExcelGraphずれる円①

 f(t) = g(t) ですから、仮に x = f(t), y = g(t) というグラフを描くと、それは直線になるわけです。それを円軌道と組み合わせると、少しずつ右上にずれる円として表現されます。ただし logt ですから、そのずれかたは少しずつ小さくなっていきます。媒介変数の範囲を 0 ≦ t ≦ 16π まで拡大してみると ......

 ExcelGraphずれる円②

 t の増加に伴って、ずれが小さくなって円が次々と重なり合っていく様子がわかりますね。ただし logt は収束関数ではないので、この円の位置も収束はしません。非常にゆっくりとではありますが、t → ∞ で右上の彼方へ去って行きます。

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