弧度法による角度の定義、ラジアンと度数法の変換公式

弧度法 Circular method

 下図のように単位円(半径 1 の円)上の点 X と中心点 O を結ぶ線分を引いて基準線とします(座標系では x 軸に相当します)。

 弧度法の説明図

 そして任意の円周上の点 P と中心点を結んだ線分 OP が OX となす角度 θ を 弧 PX の長さ = l によって定義します(θ = l)。このような角度の測り方を 弧度法 とよびます。

弧度法で表される角度の例

 円周の長さは 2π となるので、

円周の中心角 = 2π ≒ 6.283

となります。円を 2 等分すれば半円の中心角は
\[\theta=\frac{2\pi}{2}=\pi\simeq 3.141\]となり、 4 等分したときの扇形の中心角(すなわち直角)は
\[\theta=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\simeq 1.571\]と表せます。一般に円周を n 等分したときの扇形の中心角は
\[\theta=\frac{2\pi}{n}\]によって表されます。

 弧度法による角度の表記例

 弧度法で表された角度は半円を基準に考えると、大きさのイメージをつかむことができます。たとえば θ = π/10 は半円を 10 分割しているということです。

ラジアン

 弧長 l = 1 を弧度法における基本単位 ラジアン (radian) と定義します。

度数法との対応

 度数法においては円周の中心角は 360°ですから、ラジアンとの間に
\[2\pi=360^{\circ}\]の関係があります。つまり
\[\pi=180^{\circ}, \quad \frac{\pi}{2}=90^{\circ}, \quad \frac{\pi}{3}=60^{\circ}, \quad \frac{\pi}{4}=45^{\circ}, \quad \frac{\pi}{6}=30^{\circ}\]というような関係があります。また
\[\begin{align*}&1\:[\mathrm{rad}]=\frac{180}{\pi}^{\circ}=57.2958^{\circ}\\[8pt]
&1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\:[\mathrm{rad}]=0.017453\:[\mathrm{rad}]\end{align*}\]というような変換対応になっています。

半径 r の円

 任意の半径 r の円を考えます。
 円周の長さは半径に比例しますから、角度 θ の中心角をもつ扇形の弧長は
\[l = r\theta\]となります。よって半径 r の円の角度を弧度法で測るときは、
\[\theta=\frac{l}{r}\]と計算できます。

角度の符号

 三角関数などでは角度に正負の符号をつける場合もあります。点 OP を基準線 OX から反時計回りに測った角度を正、時計回りに測った角度を負と定めています。

 角度の正負説明図

 たとえば上図の例では反時計回りに測ると 3π/2 となりますが、時計回りに測ると
π/2 と表記できます。

2π を超える角度

 X を始点に P が反時計回りに1周したときの角度は 2π と表記されますが、
\[\theta=2n\pi+\alpha\]によって 2π を超える角度を定義することもできます。n は周回番号で、n = 1 のときは 1 周すなわち 2π 、n = 2 のときは 2 周すなわち 4π の角度を表します。α は OP と OX の位置関係を表す角度です。

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