互いに辺を共有する 2 つの四角形には異なる色を塗ります

[問題 PS-07] 四角形を塗り分けます

互いに辺を共有する 2 つの四角形に異なる色を塗る 異なる $n$ 種の色 ($n\geq 4$) からいくつかの色を選んで右の図形の各四角形を塗り分けます。ただし、互いに辺を共有する $2$ つの四角形には異なる色を塗るものとします。塗り分け方は何通りありますか。

(大阪府大 一部改)

 

ヒント (4 色と3 色では状況が異なります)

 何色で塗り分けるかによって場合分けします。
 辺を共有する四角形に同じ色を塗れない ことに注意してください。
 

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解答 PS-07

確率統計演習問題 四角形を塗り分ける 図のように、各四角形を $A,\;B,\;C,\;D$ とします。

[1] $4$ 色で塗る場合は $n$ 種類から $1$ 色を選んで $A$ に塗り、残り $n-1$ 色から $1$ 色選んで $B$ に塗り ...... とすればよいので、
 
\[n(n-1)(n-2)(n-3)\;\verb|通り|\]
となります。

[2] $3$ 色で塗る場合、まず $n$ 種類から $3$ 色を選ぶ方法は
 
\[{}_{n}\mathrm{C}_{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\;\verb|通り|\]
です。この $3$ 色から $2$ 色を選んで $A,\;C$ に塗り、残りの $1$ 色を $B,\;D$ に塗る方法は $3\times 2=6$ 通り。同様に、$3$ 色から $2$ 色を選んで $B,\;D$ に塗り、残りの $1$ 色を $A,\;C$ に塗る方法も $6$ 通りです。したがって、 $3$ 色で塗る場合の数は
 
\[2\times 6\times\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=2n(n-1)(n-2)\;\verb|通り|\]
となります。

[3] $2$ 色で塗る場合、$n$ 種類から $2$ 色を選ぶ方法は
 
\[{}_{n}\mathrm{C}_{2}=\frac{n(n-1)}{2}\;\verb|通り|\]
 $2$ 色のうち $1$ 色を $A,\;C$ , もう $1$ 色を $B,\;D$ に塗る方法は $2$ 通りです。
 よって $2$ 色で塗る場合の数は
 
\[2\times\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)\;\verb|通り|\]
となります。

 以上 [1][2][3] をまとめると色の塗り方は
 
\[\begin{cases}n(n-1)(n-2)(n-3)\;\verb|通り| & (\verb|4色で塗る場合|)\\[6pt]
2n(n-1)(n-2)\;\verb|通り|& (\verb|3色で塗る場合|)\\[6pt]
n(n-1)\;\verb|通り| & (\verb|2色で塗る場合|)\end{cases}\]
となります。 ≫ 格子点を結んで三角形を作ります ≫ 確率統計演習問題

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