複素数係数 2 次方程式

[問題 CX-04] 複素数係数 2 次方程式

(1) 複素数定数 a, b, c を係数とする 2 次方程式

az2 + b z + c = 0  (a≠0)

の解を求めてください。

(2) z2 + (1 + i) z + 3 i = 0 の解を求めてください。

[ヒント] (1) 実数における 2 次方程式の解の公式と同じように導出しますが、符号の記述が少しだけ異なります。

 

解答 CX-04

(1) 与式を平方完成して解の公式を得ます:
 
\[\begin{align*}
&az^{2}+bz+c=0\\
&a\left ( z+\frac{b}{2a} \right )^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0\\
&z=\frac{-b+\left ( b^{2} -4ac\right )^{1/2}}{2a}
\end{align*}\]
 実数係数のときの公式とは違って ( )1/2 の前に ± がついていませんが、 ( )1/2 すなわち 2 乗根が 2 つの解を表しているからです。それは ( ) の中身が実数であっても同じです。たとえば 1 の 2 乗根は

11/2 = exp[i(k + 1)π] = 1, -1

となってきちんと正負の解が現れるようになっています。

(2) 解の公式に a = 1, b = 1 + i, c = 3i を代入して
 
\[z=\frac{1}{2}\left [ -1-i+(-10i)^{1/2} \right ]\]
 ここで、
 
\[\begin{align*}
-i&=exp\left [ i\left ( -\frac{\pi }{2}+2k\pi \right ) \right ]\\
(-i)^{1/2}&=exp\left [ i\left ( -\frac{\pi }{4}+k\pi \right ) \right ]
\end{align*}\]
となるので、

\[\begin{align*}
z_{1}&=\frac{1}{2}\left [ -1+\sqrt{5}-(1+\sqrt{5})i \right ]\\
z_{2}&=\frac{1}{2}\left [ -1-\sqrt{5}-(1-\sqrt{5})i \right ]
\end{align*}\]
という解が得られます。 ⇒ 複素解析学問題集トップページへ

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