三角関数の合成公式(sinx と cosx の線形結合)

三角関数の合成
Compositions of Trigonometric Functions

 \(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) の線形結合は次のように表すことができます。

\[\begin{align*}
a \sin \theta + b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta+\alpha) \tag{1}\\[6pt]
a \sin \theta + b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos (\theta-\beta) \tag{2}\\[6pt]
\tan \alpha = \frac{b}{a}, \quad \tan \beta = \frac{a}{b}
\end{align*}\]

 これを 三角関数の合成 とよびます。 \(\alpha\) と \(\beta\) は逆正接関数を用いて、それぞれ
 
\[\alpha=\mathrm{Arctan} \frac{b}{a},\quad \beta=\mathrm{Arctan} \frac{a}{b}\]
と表すこともできます。

(1) の証明

三角関数の合成 右図のように \(x-y\) 座標に点 \((a,\:b)\) をとり、原点からの距離を \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) 、 \(x\) 軸となす角度を \(\alpha\) とします。図より明らかに \(\tan \alpha = b/a\) です。また点 \((a,\:b)\) はそれぞれ
 
\[a=r\cos \alpha, \quad b=r\sin \alpha\]
と表すことができますから、
 
\[a \sin \theta + b\cos \theta=r\cos \alpha \sin \theta+r\sin \alpha \cos \theta\]
となります。ここで加法定理を使うと
 
\[a \sin \theta + b\cos \theta=r\sin (\theta +\alpha)\]
というように \(\sin \) だけで表すことができます。

(2) の証明

(数学教室)三角関数の合成β 右図のように \(x-y\) 座標に点 \((b,\:a)\) をとり、原点からの距離を \(r\) 、 \(x\) 軸となす角度を \(\beta\) とします。明らかに \(\tan \alpha = a/b\) です。また点 \((a,\:b)\) はそれぞれ
 
\[a=r\sin \beta, \quad b=r\cos \beta\]
と表すことができるので、
 
\[a \sin \theta + b\cos \theta=r\sin \beta \sin \theta+r\cos \beta \cos \theta\]
と書くことができます。ここで加法定理より
 
\[a \sin \theta + b\cos \theta=r\cos (\theta -\beta)\]
となって、 \(\cos \) だけで表すことができます。
 
(数学教室)三角関数の合成化π/4

sinθ + cosθ

 三角関数の合成は状況に応じて図を描いて角度などを確認しますが、最も基本的な合成式である \(\sin \theta + \cos \theta\) については、そのまま公式として記憶しておくと便利です。右図のように点 \((1,\:1)\) をとると、 \(x\) 軸となす角度は \(\pi/4\) なので、公式 (1) と (2) を用いると、
 
\[\sin \theta + \cos \theta=\sqrt{2} \sin \left( \theta+\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2} \cos \left( \theta-\frac{\pi}{4} \right) \tag{3}\]
という合成公式が得られます。

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