虚数と実数を結びつけて複素数を定義します

未解決の問題が残されています

 虚数という新しい数を作り出したことによって、x2 = -1 という不思議な2次方程式を解くことができるようになりました。しかしそれだけではまだ解決できない問題があるのです。今度は
\[x^2-2x+2=0 \tag{1}\]という方程式を考えてみます。この方程式の左辺はどう頑張っても因数分解できませんが、
\[(x-1)^2=x^2-2x+1\]という展開式を使って
\[(x-1)^2+1=0\]と変形すると見通しが立ちます。両辺から 1 を引くと
\[(x-1)^2=-1\]ですね。そして両辺の平方根をとると
\[x-1=\pm i\]となります。「 x から 1 を引くと ± i になりますよ」ということを示しています。両辺に 1 を加えて
\[x=1 \pm i\]という解を得ることができました。めでたし、めでたし ......
 

虚数と実数を結びつけて複素数を定義します

 て、この数はいったい何でしょう!?
 実数と虚数が足し算で勝手に結びついています!
「こんなことして本当に大丈夫!?」
と不安になりますね。そもそも 1 + i がどんな数なのかイメージできません。こんな怪しい数を認めてしまっていいのかどうか悩むところですが、認めなければ (1) のような方程式は解をもたないことになります。仕方ないので実数と虚数を結びつけた
\[a+b\,i\tag{2}\]という数を認めることにします。この数を複素数 (complex number) と呼びます。英語の complex number は「(実数と虚数が)混じり合った数」という意味でわかりやすいですけど、日本語の複素数は「数字の素(最小単位)が複数(2つ)あります」という小難しい名称になっています。数字の素とは 1 と i のことです。ここに a と b は実数で、

  ① b = 0 ならば実数
  ② b ≠ 0 であるときに虚数
  ③ 特に a = 0 かつ b ≠ 0 であるときに純虚数

と決められています(いずれも複素数の特別なケースです)。a, b ともに 0 であるとき、つまり
\[a+b\,i=0+0\,i=0\]のときは ① の規則にしたがって実数となります。つまり 0 は実数 と定められています。

 これで数字の拡張工事はほぼ完成です。数学においてはこの 複素数 が最も一般的な数であると考えて間違いありません。四元数やグラスマン数などの奇妙な数を特殊な状況で用いることもありますが、たとえ大学で習う難しい数学であっても、ほとんどの場合はこの 複素数 の範囲に収まります。

 上の定義にあるように、実数の集合と虚数の集合は複素数の集合にすっぽり含まれるので、複素数で証明された定理は実数や虚数でも成り立ちます。不思議なことに、定理によっては実数で証明するよりも複素数で証明した方がずっと簡単になる場合もあるのです。複素数はとても不思議な性質を秘めた数なのです。次回は複素数の計算規則についてお話します。

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