computer を並べ替えます

[問題 PS-04] computer を並べ替えます

 computer に含まれる文字を並び替えて単語を作ります。
 以下のルールにしたがう並べ方がそれぞれ何通りあるかを答えてください。
 (1) 少なくとも一端には子音 c, m, p, t, r のいずれかがくるもの。
 (2) 母音 o, u, e の順序を変更しない並べ方。
 (3) 母音 3 個と子音 5 個が続いて並んでいるもの。
 (4) c と p の間に文字が 2 つあるもの。
 

問題 PS-04 のヒント

 順列の基本問題です。(1) は子音が一端、または両端にあるということですから、場合分けで解くと大変面倒です。確率分野の問題で「少なくとも」のような言い回しがあったときには、定番の方法があります。
 

解答 PS-04

(1) こういう場合は余事象である「端に子音が1つもないもの」を考えて、全体の順列から引くと簡単に答えが出ます。

 エクセル 端に子音がくる並べ方の余事象

 上の図にあるように「両端に母音を置く」方法は ${}_{3}\mathrm{P}_{2}=6$ 通りあって、そのそれぞれの場合に対して、残りの文字の並べ方は $6!$ 通りあるので、余事象の数は
 
\[{}_{3}\mathrm{P}_{2}\times 6!\]
となります。一方で文字を無条件に並べる方法は $8!$ あるので、求める個数は

$8!-{}_{3}\mathrm{P}_{2}\times 6!=(8\cdot 7-6)\times 6!=36000$ 通り

となります。

(2) 条件を満たす順列それぞれについて、母音を並び替えてみることにすると、その方法は $3!=6$ 通りずつあります。たとえば、

  computer o, u, e の並び替え方法は $3!=6$ 通り
  cmoputre o, u, e の並び替え方法は $3!=6$ 通り
  ocmpture o, u, e の並び替え方法は $3!=6$ 通り
  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・

というように数えていくと、無条件に並べる順列の数に一致することになります。したがって、求める並べ方の数を $x$ とおくと、
 
\[6x=8!\]
を満たします。これを解いて $x=6720$ 通りとなります。

(3) 母音 $3$ 個と子音 $5$ 個をそれぞれひとまとめにすると

(oue)(cmptr), (cmptr)(oue)

の $2$ 通りの配置があって、それぞれの ( ) の中の並べ方は $3!$ と $5!$ 通りあるので、答えは

$2!\times 3!\times 5!=6720$ 通り

となります。

(4) c と p の間に挟まれた文字を (c□□p) のように表すと、$6$ 個の文字から $2$ 文字を選んで □□ の中に並べる方法は

${}_{6}\mathrm{P}_{2}=30$ 通り

あります。(c□□p) と残りの $4$ 文字について

(c□□p)□□□□

の並べ方は $5!$ 通りです。さらに c と p を入れ替えることもできるので、答えは

$30\times 5!\times 2=7200$ 通り

となります。 ≫ [問題05] 4 項数列の集合体 ≫ 確率統計演習問題

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