合同式の加算と減算

合同式の加算と減算

 法 7 による剰余類を再掲します。
 
\[\begin{align*}&C_0\,\{\:\cdots\:-14,\:-7,\:0,\:7,\:14,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_1\,\{\:\cdots\:-13,\:-6,\:1,\:8,\:15,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_2\,\{\:\cdots\:-12,\:-5,\:2,\:9,\:16,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_3\,\{\:\cdots\:-11,\:-4,\:3,\:10,\:17,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_4\,\{\:\cdots\:-10,\:-3,\:4,\:11,\:18,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_5\,\{\:\cdots\:-9,\:-2,\:5,\:12,\:19,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_6\,\{\:\cdots\:-8,\:-1,\:6,\:13,\:20,\:\cdots\:\}\end{align*}\]
 ここで、たとえば $C_2$ から $2$, $C_3$ から $17$ という要素を抜き出して足し合わせてみると
 
\[2+17=19\in C_5\]
となっています ($19$ は $7$ で割ると $5$ 余ります) 。また $C_2$ から $-5$, $C_3$ から $10$ という要素を抜き出して足し合わせてみても
 
\[-5+10=5\in C_5\]
となります。同じように $C_2,\:C_3$ からどのような数を抜き出して足し合わせてみても、それは必ず C_5 類の要素となります。一般に加算については、法 $m$ による剰余類 $C_a,\:C_b$ を
 
\[\begin{align*}&C_a\,\{\:a_1,\:a_2,\:a_3,\:\cdots\:a_i,\:\cdots\:\}\\[6pt]
&C_b\,\{\:b_1,\:b_2,\:b_3,\:\cdots\:b_i,\:\cdots\:\}\\[6pt]\end{align*}\]
としたときに、$C_a,\:C_b$ から任意の要素
 
\[a_i\in C_a,\quad b_i\in C_b\]
を取り出してきて足し合わせると必ず同じ剰余類 $C_x$ の要素となります。
 
\[a_i+b_i\in C_x\]
 これは言い換えると $C_a,\:C_b$ からどのような数を抜き出して足し合わせても合同になるということです。

[定理 C2] $a_1\equiv a_2,\:\:b_1\equiv b_2\:(\mathrm{mod}\;m)$ ならば、
\[\begin{align*}(1)&\:a_1+b_1\equiv a_2+b_2\:(\mathrm{mod}\;m)\\[6pt]
(2)&\:a_1-b_1\equiv a_2-b_2\:(\mathrm{mod}\;m)\end{align*}\]が成り立ちます。

[定理 C2 の証明]
(1) $a_2=a_1+ms,\:\:b_2=b_1+mt\:(s,t\in\mathbb{Z})$ と書けるので、
 
\[a_2+b_2=a_1+b_1+m(s+t)\equiv a_1+b_1\:(\mathrm{mod}\;m)\]
となります。(2) も同じように証明できます。(証明終)

 この定理は合同式においても普通の等式と同じように辺々を足し合せてもかまわないということです。具体的な計算例を載せておきます。たとえば法 5 のもとで
 
\[28\equiv 53,\quad 36\equiv 51\:(\mathrm{mod}\;m)\]
という合同式が成り立っているので、両辺を足し合わせて
 
\[64\equiv 104\equiv 4\:(\mathrm{mod}\;m)\]
という合同式も成り立ちます。

 ≫ 合同式の乗算とべき乗 ≫ 初等整数論入門講座

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