2つの解の比が1:2になるように k を定めます

[問題 AG-17] 1:2になるように k を定めます

 2次方程式

\[x^2-3kx-4(k-1)=0\]の2つの解の比が 1:2 になるように \(k\) を定めて解を求めてください。

問題 AG-17 のヒント

 問題文に素直にしたがって解を設定します。

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問題 AG-17 の解答

 2つの解を \(\alpha,\:2\alpha\) とおくと、解と係数の関係より
 
\[3\alpha=3k,\quad 2\alpha^2=4(k-1)\]
となるので、 \(\alpha=k\) であることがわかります。上の2式から \(\alpha\) を消去して整理すると
 
\[k^2-2k+2=0\]
という \(k\) に関する2次方程式が得られるので、これを解いて
 
\[k=1\pm i\]
と決まります。したがって解は
 
\[1+i,\quad 2+2i\]
 あるいは
 
\[1-i,\quad 2-2i\]
のいずれかになります。 ≫ [問題18] 1 次式の積に因数分解 ≫ 数学演習問題

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