√3 を連分数展開して近似分数をつくります

[問題 AG-06] √3 の近似分数

 ある数 x を次のように連分数展開します。
\[x=a_0+\frac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\cdots \cdots }}}}\]このとき、a3 より後ろの分数を打ち切って、
\[x=a_0+\frac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3}}}\]としたとき、
\[k_3=[a_0,\: a_1,\: a_2,\: a_3]\]と書いて x の第 3 近似分数とよびます。

(1) √3 を連分数展開して、第 6 近似分数を求めてください。

(2) (1) で求めた分数を小数に直してください。
  ただし、小数点以下 5 桁で解答するものとします。

問題 AG-06 のヒント

 √3 = 1 + (√3 - 1) と書けます。

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問題 AG-06 の解答

 √3 = 1 + (√3 - 1) と書けるので、途中まで連分数展開してみると
\[\begin{align*}
\sqrt{3}&=1+\frac{1}{\cfrac{1}{\sqrt{3}-1}}=1+\frac{1}{\cfrac{2+\sqrt{3}}{2}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}}\\
&=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}}}=1+\frac{1}{1+\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}}
\end{align*}\]
となり、最後の分母に √3 がまた現れます。以降の展開は繰り返しになりますから、第 6 近似分数は
\[k_6=[1,\: 1,\: 2,\: 1,\: 2,\: 1,\: 2]\]
と書けます。連分数は [ ... ] の後ろにある 1, 2 の部分から順に後ろから前へ計算します。

1 + 1 / 2 = 3 / 2

次はこの逆数の値に 2 を加えます

2 + 3 / 2 = 8 / 3

こうして順次 [ ... ] を後ろ向きに計算していくと

1 + 3 / 8 = 11 / 8

2 + 8 / 11 = 30 / 11

1 + 11 / 30 = 41 / 30

となって、第 6 近似分数

1 + 30 / 41 = 71 / 41

が得られます。

(2) 第 6 近似分数を計算してみると

71 / 41 = 1.73171

が得られます。ちなみに正確な値は 1.73205 ですから、まずまずの近似だといえるでしょう。このように、小数表記では全く循環しない無理数であっても、連分数表記では [ ... , 1, 2, 1, 2, .... ] という単純な周期をもっていることは驚きですね。

 ≫ [問題07] 三角形の面積 ≫ 数学演習問題

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