畳み込み積分(合成積)定理

 

畳み込み積分(合成積) Convolution Integral

 関数 $f(t)$ と $g(t)$ について、

\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\tag{A}\]

によって定義される積分を 畳み込み積分 あるいは 合成積 といいます。* は掛け算ではなく、右辺のような積分を計算するという意味の記号です。畳み込み積分は $s$ についての無限積分なので $t$ の関数となります。また、$f$ と $g$ の順番を入れ替えても計算結果は同じで

\[f(t)*g(t)=g(t)*f(t)\tag{B}\]

という可換則が成り立ちます。

畳み込み積分が可換であることの証明

 畳み込み積分
 
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]
の定義式において $r=t-s$ とおくと $ds=-dr$ なので、
 
\[\begin{align*}f(t)*g(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-r)g(r)(-dr)\\[6pt]
&=\int_{-\infty}^{\infty}g(r)f(t-r)dr=g(t)*f(t)\end{align*}\]
となって可換則が証明されました。
 

畳み込み積分(合成積)定理
 Convolution Integral theorem

 畳み込み積分はとてもきれいな形でフーリエ変換されます。

 $f(t)$ と $g(t)$ のフーリエ変換をそれぞれ
\[\begin{align*}
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\\[6pt]
G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-i\omega t}dt
\end{align*}\]とすると、畳み込み積分
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]のフーリエ変換は
\[\mathcal{F}[f(t)*g(t)]=F(\omega)G(\omega)\tag{C}\]となります。また $F(\omega)$ と $G(\omega)$ の畳み込み積分を
\[F(\omega)*G(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(z)G(\omega-z)dz\]と定義すると、$f(t)g(t)$ のフーリエ変換は
\[\mathcal{F}[f(t)g(t)]=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*G(\omega)\tag{D}\]となります。

 これを 畳み込み積分(合成積)定理 とよびます。

畳み込み積分定理の証明

 畳み込み積分
 
\[f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\]
をフーリエ変換すると
 
\[\begin{align*}\mathcal{F}[f*g]&=\int_{-\infty}^{\infty}\left[ \int_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)ds\right]e^{-i\omega t}dt\\[6pt]
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)\left[ \int_{-\infty}^{\infty}g(t-s)e^{-i\omega(t-s)}dt\right]e^{-i\omega s}ds\\[6pt]
\end{align*}\]
 ここで $r=t-s$ とおくと、$dt=dr$ なので
 
\[\begin{align*}\mathcal{F}[f*g]&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)\left[ \int_{-\infty}^{\infty}g(r)e^{-i\omega r}dr\right]e^{-i\omega s}ds\\[6pt]
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(s)G(\omega)ds=F(\omega)*G(\omega)\end{align*}\]
となって (C) が証明されました。(D) も同じように証明できるので、ここでは省略します。 ≫ 数学事典

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