i の n 乗を計算します

[問題 CX-02] i n の計算

 複素数の極形式 z = r exp (iθ) を用いて i n を計算してください。
 n は 0 以上の整数とします。

[ヒント] 周期性があるので n についての場合分けが必要です。

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問題 CX-02 の解答

 i を極形式で表すと

i = exp [i (π/2)]

ですから、

i n = exp [i (nπ/2)]

 n = 0, 1, 2, 3, 4 で計算してみると、

   i0 = exp[i 0] = 1

   i1 = exp[i (π/2)] = cos (π/2) + i sin (π/2) = i

   i2 = exp[i (π)] = cos (π) + i sin (π) = - 1

   i3 = exp[i (3π/2)] = cos (3π/2) + i sin (3π/2) = - i

   i4 = exp[i (2π)] = cos (2π) + isin (2π) = 1

 周期性から n = 0 と n = 4 は同じ値をとりますね。
 したがって i n は k を 0 以上の整数として

   ① n = 4 k のとき 1

   ② n = 4 k + 1 のとき i

   ③ n = 4 k + 2 のとき - 1

   ④ n = 4 k + 3 のとき - i

となります。とくに n = 2 のとき

i2 = -1

という虚数の有名な性質が現れています。このように i を掛けるという演算は複素平面上における回転操作を表しています。

 複素数平面における回転操作
 

√i の値は?

 極形式を使えば √i の計算も簡単です。

i n = exp [i (nπ/2)]

において n = 1 / 2 とおけば、

i 1/2 = exp [i (π/4)] = (√2 / 2) (1 + i)

という値が得られますが、これは複素数平面上で実数 1 を正方向(反時計回り)に 45° 回転させる操作に対応します。 i を基準にすると負の方向(時計回りに)45° の回転ですから、これは「平方根をとる」というイメージに合いますね。

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