複素数係数 1 次方程式の解が複素数平面上に描く軌跡

[問題 CX-01] 複素数係数 1 次方程式

 複素数 z に関する 1 次方程式
\[(1+i)z+a+i=0\]の解は複素数平面上でどのような軌跡を描きますか。$a$ は実数パラメータとします。

問題 CX-01 のヒント

  まずは $z$ の係数を外すことを考えます。

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[解答 CX-01]

 $z$ の係数を有理化するのが定石です:
 
\[(1 + i) z + a + i = 0\]
の両辺に $1-i$ をかけると
 
\[2 z + (a + i)(1 - i) = 0\]\[2 z + a + 1 + i (1 - a) = 0\]\[z = (1 / 2)[- a - 1 + (a -1) i]\]
 実部を $x$, 虚部を $y$ とおくと、
 
\[x = - \frac{1}{2}(a + 1),\quad y =\frac{1}{2}(a - 1)\]
両式からパラメータ $a$ を消去すると、解の軌跡として
 
\[y = - x - 1\]
が得られます。すなわち複素数平面上の点は
 
\[z = x + i y = x - i (x + 1)\]
で表されることになります。

 1次方程式の解を複素平面にプロット

補足 実数の 1 次方程式と比較してみましょう

 実数 $x$ について、
 
\[f(a) x + g(a) = 0\]
という 1 次方程式を考えたときに、解は $f(a),\: g(a)$ の形によらず、
 
\[x =-g(a) / f(a)\]
となって複素数平面の実軸上を動くだけです(ただし、その動き方は $f,\: g$ の形によって多様です)。これを

\[f(a) z + g(a) = 0\]
のように変数と係数を複素数に変えると世界が平面上に広がります。$f$ や $g$ の形によってはより複雑な軌跡を描くことになり、一気に問題は複雑化して媒介変数関数の微積分が必要となります(場合によっては数値計算でないと解けないこともあります)。そうした問題については、もう少し先で扱ってみることにしますので、楽しみに待っていてください。 ≫ 複素解析学問題集

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