複素数平面上の直線方程式

[問題 CX-05] 複素数平面上の直線方程式

(1)複素数平面上の 2 点、α = a + i b と β = c + i d を通る直線の方程式を
 z = x + i f(x) の形で求めてください。

(2) 複素数平面上の原点と 1 + i を結ぶ直線の方程式を求めてください。

[ヒント] x と y の関係を求める問題です。
 

解答 CX-05

(1) まず状況を複素数平面に描いてみます。

 複素数平面上の直線グラフ

 複素数平面上であっても、x と y の関係に着目すると、普通の x - y 平面における直線方程式と同じです。なので

(a - c) (y - b) = (b - d) (x - a)

となります。これを y = f(x) の形に書き直すと
 
\[y=\frac{b-d}{a-c}\:x+\frac{ad-bc}{a-c}\]
となるので、z - x の方程式として
 
\[z=x+i\left[ \frac{b-d}{a-c}\:x+\frac{ad-bc}{a-c} \right]\]
が得られます。

(2) α = 1 + i, β = 0 + 0 i とすると

a = 1, b = 1, c = 0, d = 0

ですから、(1) の結果に代入して

z = x + ix = (1 + i) x

という方程式となります。

  直線z=x+ixグラフ

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