サイクロイド(擺線)の面積と長さ

サイクロイド曲線の定義

 半径 $a$ の円が定直線上を滑らないで転がるとき、この回転円の定点 $P$ が描く曲線の軌跡を サイクロイド (cycloid) あるいは 擺線(はいせん) とよびます。サイクロイドは トロコイド(よはいせん) とよばれる曲線の一種です。

 エクセルで描いたサイクロイド曲線

 サイクロイド曲線は $t$ を媒介変数として
 
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
という方程式で表すことができます。媒介変数 $t$ に応じて $x,\:\:y$ は
 
\[\begin{align*}t\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad\pi\quad\Longrightarrow\quad 2\pi\\[6pt]
x\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad\pi a\quad\Longrightarrow\quad 2\pi a\\[6pt]
y\::\:0\quad&\Longrightarrow\quad 2a\quad\Longrightarrow\quad 0\\[6pt]\end{align*}\]
のように動いてちょうど1周します。
 
 

サイクロイドの面積

 サイクロイドの媒介変数表示
 
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
を用いてサイクロイド曲線と $x$ 軸に囲まれた部分の面積を計算することができます。$x=\pi a$ で曲線は対称形をしているので、$y$ を $x=\pi a$ まで積分した値を 2 倍します。
 
\[\begin{align*}S=&\,2\int_{0}^{\pi a}ydx=2\int_{0}^{\pi}y\frac{dx}{dt}\,dt\\[6pt]
=&\,2\int_{0}^{\pi}a\,(1-\cos t)\,a\,(1-\cos t)\,dt\\[6pt]
=&\,2a^2\int_{0}^{\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)\,dt\end{align*}\]
 第1項と第2項はそれぞれ
 
\[\int_{0}^{\pi}dt=\pi,\quad\int_{0}^{\pi}\cos t\,dt=0\]
となります。第3項は $\displaystyle a_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^nt\,dt$ の漸化式
 
\[a_0=\frac{\pi}{2},\:\:a_1=1,\:\:a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-2}\]
によって計算することができます。
 
\[\int_{0}^{\pi}\cos^2\,dt=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\,dt=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\]
 したがって、求める面積は
 
\[S=2a^2\,\left(\pi+\frac{\pi}{2}\right)=3\pi a^2\]
となります。
 

サイクロイドの長さ

 $x,\;y$ が媒介変数 $t$ で表されたときの曲線の長さを求める公式は
 
\[L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
です。この公式を使ってサイクロイド
 
\[x=a\,(t-\sin t),\:\:y=a\,(1-\cos t)\quad (a\gt 0)\]
の長さを計算します。
 
\[\frac{dx}{dt}dt=a,(1-\cos t)\quad\frac{dy}{dt}=a\,\sin t\]
となるので、求める長さは
 
\[\begin{align*}
L=&\,\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2(1-\cos t)}\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}}\,dt\\[6pt]
=&\,\int_{0}^{2\pi}\sin\frac{t}{2}\,dt=8a\end{align*}\]
となります。 ≫ 数学事典

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