円柱の表面積を最小にするように直径と高さの比率を求めます

[問題 CL-21] 円柱の表面積を最小にするような直径と高さの比率

 直円柱の体積を一定に保つとき、その表面積が最小となるような直径と高さの比率を求めてください。
 
 

ヒント(極小値の判定には 2 階微分を使います)

 缶詰もこういう設計にすれば材料コストを抑えられます。だからといって市販の缶詰が全部こういう形をしているわけではありませんけどね(これはヒントでなく、ただの雑談です)。えーと、基本的な問題なので、特に言うこともありませんけど、極小値の判定は 2 階微分を使うと楽です。わざわざ増減表やグラフを描かなくてもいいですよ。
 

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問題 CL-021 の解答

 体積を $V$ , 底面の半径と高さをそれぞれ $r,\:h$ とおくと、
 
\[V=\pi r^2h \tag{A}\]
と表せます。また表面積は $r,\:h$ を変数として
 
\[S(r,\:h)=2\pi r^2+2\pi rh\]
と表せますが、(A) を用いて $h$ を消去すると
 
\[S(r)=2\pi r^2+\frac{2V}{r}\]
というように $r$ だけの関数で表せます。$r$ で微分すると
 
\[S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}\]
となります。さらにもう1度微分すると
 
\[S''(r)=4\pi +\frac{4V}{r^3} \gt 0\]
なので、$S(r)$ のグラフは下に凸なので極小値が存在します。$S'=0$ とおくと
 
\[2\pi r^3=V \tag{B}\]
という極小値における $r$ と $V$ の関係式が得られます。求めたいのは $r/h$ なので、分子と分母に $2\pi r^2$ を掛けて (A) と (B) の関係式を代入すると
 
\[\frac{r}{h}=\frac{2\pi r^3}{2\pi r^2h}=\frac{V}{2V}=\frac{1}{2}\]
となります。でもここで終わらないように! 問われているのは「直径 と高さの比率」ですから、答えは 1:1(つまり直径と高さが等しいとき)です。入試などでこんなケアレスミスをするとあまりに悲しいので、解答を終えたあとは必ずもう1度だけ問題文をチェックしましょう。 ≫ [問題22] 直円錐の体積を最大にします ≫ 数学演習問題 

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