次数 n についての特別な条件が現れます

[問題 AG-27] 次数 n についての特別な条件が現れます

 n 次の多項式
\[f(x)=4x^n-nx^2-4n^2+n^3\]が \(x^2-1\) を因数にもつとき、n の値を求めてください。(大阪府立大)

問題 AG-27 のヒント

 因数定理を使った問題です。 n について2つの式を得られますが、そこから n についての特別な条件が現れるので見逃さないようにしてください。

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問題 AG-27 の解答

 \(x^2-1\) を因数にもつと言っているのですから、素直に f(x) に x = ±1 を代入して 0 とおいてみます。
 
\[\begin{align*}f(-1)=&\:4\:(-1)^n-n-4n^2+n^3=0 \qquad &[1]\\[6pt]
f(1)=&\:4-n-4n^2+n^3=0 \qquad &[2]\end{align*}\]
 [1] から [2] を引いて少し整理すると
 
\[(-1)^n=1\]
という式が現れます。つまり n は偶数であるということです。これが大切な条件で、一番最後に n の候補を絞り込むときに使います。 [2] より
 
\[g(n)=4-n-4n^2+n^3 \qquad [3]\]
とおくと g(1) = 0 は明らかです。ここで g(n) を n - 1 で割り算してもよいのですが、
 
\[g(n)=(n-1)(n^2+an+b)\]
とおいたほうが簡単です。右辺をじっと見ると展開したときに x2 の係数が a - 1, 定数項が - b とすぐにわかりますから、 [3] 式と係数を比較すると
 
\[a=-3,\quad b=-4\]
を直ちに得ることができます。よって
 
\[g(n)=(n-1)(n+1)(n-4)\]
と因数分解できて、 n = ±1, 4 が g(n) = 0 の解となりますが、 n は偶数であるという条件を先に得ているので答えは \(n=4\) となります。

 ≫ [問題28] 2 重根号 ≫ 数学演習問題

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