各位の数字がすべて異なる 3 桁の奇数

[問題 PS-01] 各位の数字がすべて異なる 3 けたの奇数

 各位の数字がすべて異なる 3 けたの奇数はいくつありますか?
 

問題 PS-01 のヒント(場合の数の基本問題です)

 確率統計分野の第 1 問は数え上げの基本問題です。
 百位、十位、一位それぞれに何通りの数が入るかを考えます。
 

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解答 PS-01(百位、一位、十位の順に数えます)

 一位が奇数であることは決まっていますから、$1,\;3,\;5,\;7,\;9$ の $5$ 通り。十位には $0$ を選べますが、百位には $0$ を選べないので、一位のそれぞれの場合に対して十位のとりうる場合を数えてしまうと、十位に $0$ を選んだ場合と選ばなかった場合で百位のとりうる場合の数が異なってしまいます。そこで一位の $5$ 通りに対して、百位のとりうる数をかぞえると、$9$ 通りから一位で選んだ数を除いて $8$ 通り。十位は $0$ から $9$ の $10$ 通りから一位と百位で選んだ数を除いて $8$ 通り。よって全部で

$5\times 8\times 8=320$ 通り

となります。 ≫ [問題02] 棒で三角形をつくります ≫ 確率統計演習問題
 
 

[問題 PS-18] 整数が $3$ で割り切れる確率

 $1$ から $7$ の $7$ 個の数字から異なる $4$ 個をとって $4$ 桁の整数をつくるとき、この整数が $3$ で割り切れる確率を求めてください。
 

問題 PS-18 のヒント(余りに着目します)

 ある整数が $3$ で割り切れる条件は?

解答 PS-18

 ある整数が $3$ で割り切れるための必要十分条件は、各桁を足した値が $3$ で割り切れることです。$1$ から $7$ の数を $3$ で割ったときの余りによってグループ分けしてみます。

  余りが $0$ となる数 $A=\{3,\:6\}$
  余りが $1$ となる数 $B=\{1,\:4,\:7\}$
  余りが $2$ となる数 $C=\{2,\:5\}$

 ここから、足すと $3$ で割り切れるように、$4$ 個の整数を選ぶ方法を考えると、

  ① $A$ から $2$ 個、$B$ と $C$ からぞれぞれ $1$ 個ずつ
  ② $A$ から $1$ 個、$B$ から $3$ 個
  ③ $B$ と $C$ からぞれぞれ $2$ 個ずつ

となります。たとえば①の方法では、$A$ から $3,\:6$ をとり、$B$ から $4$, $C$ から $2$ をとって足してみると
 
\[3+6+2+4=15\]
となって、$3$ で割り切れることがわかります。このとき、$3624$ の各桁を並べ替える順列は $4!$ 通りあります。一般化して、①のケースの事象の総数は
 
\[{}_{3}\mathrm{C}_1\times {}_{2}\mathrm{C}_1\times 4!\]
 ②のケースの事象の総数は
 
\[{}_{2}\mathrm{C}_1\times {}_{3}\mathrm{C}_3\times 4!\]
 ③のケースの事象の総数は
 
\[{}_{3}\mathrm{C}_2\times 4!\]
となります。全て足し合わせると、条件を満たす事象の数は
 
\[(6+2+3)\times 4!=264\]
となります。一方で $7$ 個の整数を使って $4$ 桁の整数をつくる方法は全部で
 
\[{}_{7}\mathrm{P}_4=840\]
なので、求める確率は
 
\[\frac{264}{840}=\frac{11}{35}\]
となります。 ≫ 確率統計演習問題

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