微分係数と導関数

 

微分係数 Differential Coefficient

 $y=f(x)$ はある区間で連続であるとします。その区間内で $x$ の値が $a$ から $a+h$ に変化すると $y$ の値は $f(a)$ から $f(a+h)$ へと変化します。

 数学Excel微分係数の説明図

 このとき極限

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{1}\]
が存在するならば、 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるといい、この有限確定値 $f'(a)$ を $x=a$ における 微分係数 (differential coefficient) とよびます。また $f'(a)$ は $x=a$ に引いた接線の傾きを表しています。

$f(x)=x^2$ の微分係数

 例として $f(x)=x^2$ の $x=a$ における微分係数を求めてみます。

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}(2a+h)=2a\]
 $a$ は任意の値ですから、 $f(x)=x^2$ は実数全域で有限確定値 $2a$ をもちます。
 すなわち $f(x)=x^2$ は実数全域で微分可能だということです。

右方微分係数と左方微分係数

 $h$ が正の方向( $x$ 軸の右側)から近づくときの極限

\[f'(a+0)=\lim_{h\rightarrow +0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{2}\]
のことを右方微分係数、$h$ が負の方向( $x$ 軸の左側)から近づくときの極限

\[f'(a-0)=\lim_{h\rightarrow -0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \tag{3}\]
のことを左方微分係数といいます。右方微分係数と左方微分係数は限定された区間で定義されるような関数の端点での微分係数を求めるときに用います。たとえば $x \geq a$ で定義された $f(x)$ について、$x=a$ で右方微分係数が存在するならば $f(x)$ は微分可能であるといいます。
 

導関数 Derived Function/Derivative

 ある区間の各点 $x$ において $f(x)$ が微分可能であるとき、すなわち上で述べたような極限値(微分係数)をもつとき、$f(x)$ はその区間において微分可能であるといいます。
 このときの微分係数 $f'(x)$ はその区間で定義された $x$ の関数です。
 関数 $f'(x)$ のことを $f(x)$ の 導関数 (derived function) とよび、 $f'(x)$ を求めることを $f(x)$ を微分する といいます。

 数学Excel導関数の説明図

 区間内で $x$ から $x+\Delta x$ に変化するとき、$y$ の変化を $\Delta y$ で表すと、 $y=f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は
 
\[f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow +0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow +0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \tag{4}\]
と表されます。幾何学的には導関数 $f'(x)$ は曲線 $f(x)$ 上の任意の点における接線の傾きを表しています。 $y=f(x)$ の導関数を表す記号は他にも
 
\[y',\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df(x)}{dx}\]
などがあります。

$f(x)=x^3$ の導関数

 例として $f(x)=x^3$ の導関数を求めてみます。

\[f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow +0}\frac{(x+h)^3-x^3}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow +0}(3x^2+3x\Delta x)=3x^2\]
 

導関数の基本公式 Basic Formulas of Derived Function

 (4) の定義を用いると以下の基本公式が導かれます。

\[\begin{align*}&\{ f(x) \pm g(x) \}'= f'(x) \pm g'(x) \tag{5}\\[6pt]
&\{ kf(x) \}'=kf'(x) \tag{6}\\[6pt]
&\{ f(x)g(x) \}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \tag{7}\\[6pt]
&\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{ g(x) \}^2} \tag{8}\end{align*}\]

 ≫ 数学辞典

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