文字式の割り算(分数計算)と約分

大切な約束事が1つだけあります

 文字の割り算のときに注意しなくてはならないことが1つあります。それは「割る数(分母)は 0 であってはいけない」ということです。割る数が a や b といった文字で表すときは、

a ≠ 0 や b ≠ 0

という条件が必ずつきます。特に明示しないで計算するときもありますが、その場合も自動的にこの条件が付されていると考えてください。

文字で表された数を約分します

 それでは文字の割り算を見ていきましょう。 a を a で割ると、
 
\[\frac{a}{a}=1\]
となります(当たり前です)。文字を使った割り算も普通の数と同じように約分できます。たとえば 3 a を 3 で割るときは分子・分母を 3 で割って
 
\[\frac{3a}{3}=a\]
というように計算できます。3 a を a で割るときは分子・分母を a で割ります:
 
\[\frac{3a}{a}=3\]
 a5 を a2 で割るような計算は、分子・分母を a で 2 回割ってすっきりさせます:

 指数の割り算①

 肩の部分が 5 - 3 = 2 と引き算の関係になっていますね。
 同じように a2 を a4 で割ってみましょう。

 指数の割り算②

 今度は分母に a2 が残りました。
 複数の文字が混じり合った分数は、同じ文字同士を約分しておきます。

\[\frac{a^{2}b^{3}c}{ab}=ab^{2}c\]

\[\frac{xy}{x^{2}y^{2}z}=\frac{1}{xyz}\]
 分子や分母に足し算や引き算が含まれているときも、共通の文字を探して約分します:

\[\frac{a^{2}+2ab}{a}=a+2b\]

\[\frac{3x}{x-xyz}=\frac{3}{1-yz}\]

問題① 次の式を約分してください

\[(1)\; \frac{p^{2}+2pq+p}{p^{2}}\]

\[(2)\; \frac{y}{xy}+\frac{z}{yz}+\frac{x}{xz}\]

問題①の解答

\[(1)\; \frac{p^{2}+2pq+p}{p^{2}}=\frac{p+2q+1}{p}\]

\[(2)\; \frac{y}{xy}+\frac{z}{yz}+\frac{x}{xz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\]

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