(y3 + x2y)dx + (x3 - y2)dy=0

[問題 DE-10] (y3 + x2y)dx + (x3 - y2)dy=0

 微分方程式 $(y^3+x^2y)dx+(x^3-y^2)dy=0$ を解いてください。
 

問題 DE-10 のヒント(完全微分型かどうかチェックします)

 まずは左辺が完全微分型になっているかどうかを確認します。
 なっていなければ積分因子 $\mu$ を見つけます。
 完全微分型方程式についてはこちらの頁を参照してください
 

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解答 DE-10

 微分方程式
 
\[(y^3+x^2y)dx+(x^3-y^2)dy=0\tag{A}\]
が完全微分型であるためには、
 
\[P(x,y)=y^3+x^2y,\quad Q(x,y)=x^3-y^2\]
について
 
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]
という条件式を満たしていなければなりませんが、計算してみると
 
\[\begin{align*}\frac{\partial P}{\partial y}=3y^2+x^2\\[6pt]
\frac{\partial Q}{\partial x}=3x^2-y^2\end{align*}\]
となるので、与えられた微分方程式は完全微分型ではありません。そこで
 
\[\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}\]
となるような積分因子 $\mu$ を見つける必要があります。$\mu=x^my^n$ とおくと
 
\[\begin{align*}\mu P=x^my^{n+3}+x^{m+2}y^{n+1}\\[6pt]
\mu Q=x^{m+3}y^n-x^{m+1}y^{n+2}\end{align*}\]
 それぞれ $x$ , $y$ で微分すると
 
\[\begin{align*}\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}&=(n+3)x^my^{n+2}+(n+1)x^{m+2}y^n\\[6pt]
\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}&=(m+3)x^{m+2}y^n-(m+1)x^my^{n+2}\end{align*}\]
 両辺の係数を比較すると
 
\[\begin{align*}n+3=-m-1\\[6pt]n+1=m+3\end{align*}\]
 これを解いて
 
\[m=-3,\quad n=-1\]
が得られます。すなわち
 
\[\mu=\frac{1}{x^3y}\]
となります。これを微分方程式
 
\[(y^3+x^2y)dx+(x^3-y^2)dy=0\]
にかけて
 
\[\left(\frac{y^2}{x^3}+\frac{1}{x}\right)dx+\left(\frac{1}{y}-\frac{y}{x^2}\right)dy\]
 これを変形していくと
 
\[\begin{align*}-\frac{1}{2}y^2d\left(\frac{1}{x^2}\right)+d(\log x)+d(\log y)-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}d(y^2)=0\\[6pt]
d(\log xy)-\frac{1}{2}\left\{y^2d\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{1}{x^2}d(y^2)\right\}=0\\[6pt]
d(\log xy)-\frac{1}{2}d\left(\frac{y^2}{x^2}\right)=0\end{align*}\]
 これを積分して一般解
 
\[\log xy=\frac{y^2}{2x^2}+C\]
が得られます。 ≫ 微分方程式演習 ≫ 数学演習

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