2 つの円を描きます

 次のような関数を考えてみます。

x(t) = cost + a cos(t2), y(t) = sint + b sin(t2)

 a = b のときは、下図のように円周上にあるベクトルを起点として、もう 1 つの円を描く軌跡となります(a ≠ b なら楕円)。

 大きな円と小さな円の図

 ただし、1 つめの円の位相角 t に対して 2 つめの円が位相角 t2 となるように関連づけられています。
 

a = b = 0.1

 a = b = 0.1 としたグラフを描いてみます。

 大きな円と小さな円0.1グラフ

 ほぼ予想通りといってよいかもしれませんね。全体的に大きな円を描きながら、小さな円の軌跡も見られます。t が小さいところでは、 t2 のほうがより小さくなるので、描き始めのところ (t ≒ 0) では、小さな円の効果は cos 0 = 1 が x 軸正方向に効くように働きます。なので第 1 象限においては半径 1 より少し(≒ + 0.1)大きな楕円とみなすことができます。
 

a = b = 0.5

 a = b = 0.5 としてみると ......

 大きな円と小さな円0.5グラフ

 大きな円と小さな円の半径の比率が 2:1 です。
 小さな円の軌跡がはっきりと表れていますね。
 大きく周りながら、小さくも周っているのです。
 

a = 0.4, b = 0.1

 a と b の値を異なるものにしてみます。

 大きな円と小さな円0.4グラフ

 半径 1 の円を描きながら、長径 a = 0.4, 短径 b = 0.1 という小さな楕円を描いています。 2 つの軌跡を合わせてみると、何だか妙なグラフになりますね。
 

a = b = 2.0

 円の大きさを逆転させます。

 大きな円と小さな円0.5グラフ

 半径 1 の円に加えて半径 2 の円軌道を重ねています。全体としてほぼ半径 3 の円の内側に、たくさんの円(のような)軌道を描きだしていますね。

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