偶数が少なくとも 2 つあることを示します

[問題 NT-27] 偶数が少なくとも 2 つあります

 自然数 $a,\:b,\:c,\:d$ が $a^2+b^2+c^2=d^2$ を満たしています。

(1) $d$ が 3 で割り切れるならば、 $a,\:b,\:c$ はすべて 3 で割り切れるか、
 どれも 3 で割り切れないかのどちらかであることを示してください。

(2) $a,\:b,\:c$ のうち偶数が少なくとも 2 つあることを示してください。

(横浜国立大学)

問題 NT-27 のヒント

 割り切れる、割り切れないという問題 で用いる定石があります。

“魔法の数"虚数 (ニュートン別冊)

新品価格
¥2,843から
(2017/9/1 17:30時点)

問題 NT-26 の解答

(1) $k$ を 非負の整数とすると全ての自然数 $n$ は
 
\[n=3k,\quad 3k+1,\quad 3k+2\]
という形で表すことができます。それぞれ 2 乗すると
 
\[\begin{align*}(3k)^2&=3 \cdot 3k\\[6pt]
(3k+1)^2&=3(3k^2+2k)+1\\[6pt]
(3k+2)^2&=3(3k^2+4k+1)+1\end{align*}\]
となるので、

   $n$ が 3 で割り切れる  ⇔  $n^2$ が 3 で割り切れる
   $n$ が 3 で割り切れない ⇔  $n^2$ を 3 で割ると余りが 1

という必要十分条件が成り立ちます。つまり $d$ が 3 で割り切れるということは、$d^2=a^2+b^2+c^2$ を 3 で割ったときの余りが 0 だということです。そのときのパターンは以下の2つに分けられます。

   ① $a^2,\:b^2,\:c^2$ のそれぞれを 3 で割って余りを合計すると 0
   ② $a^2,\:b^2,\:c^2$ のそれぞれを 3 で割って余りを合計すると 3

 これを言い換えると、

   ① $a^2,\:b^2,\:c^2$ を 3 で割った余りはすべて 0
   ② $a^2,\:b^2,\:c^2$ を 3 で割った余りはすべて 1

 さらに言い換えると、

   ① $a,\:b,\:c$ を 3 で割った余りはすべて 0
   ② $a,\:b,\:c$ を 3 で割った余りはすべて 1

 つまり $a,\:b,\:c$ はすべて 3 で割り切れるか、どれも割り切れないということです。

(2) すべての自然数は
 
\[n=2k,\quad 2k+1\]
で表すことができます。それぞれ平方すると
 
\[\begin{align*}(2k)^2&=4k^2\\[6pt]
(2k+1)^2&=4(k^2+k)+1\end{align*}\]
となるので、

   $n$ が偶数 ⇔ $n^2$ が 4 で割り切れる
   $n$ が奇数 ⇔ $n^2$ を 4 で割ると余りが 1

 つまり $d$ が偶数ならば、$d^2=a^2+b^2+c^2$ を 4 で割ったときの余りが 0 となります。すなわち $a^2,\:b^2,\:c^2$ を 4 で割った余りの合計が 0 ですから、 $a,\:b,\:c$ はすべて偶数となります。また $d$ が奇数ならば、$d^2=a^2+b^2+c^2$ を 4 で割ったときの余りは 1 となります。すなわち $a^2,\:b^2,\:c^2$ を 4 で割った余りの合計が 1 ですから、 $a,\:b,\:c$ のうち 2 つが偶数、1 つが奇数でなければなりません。以上より、$a,\:b,\:c$ のうち偶数が少なくとも 2 つあることが示されました。

 ≫ [問題28] 条件を満たす素数 p, q を全て求めます ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。