2つの虚数解と1つの重解をもつように p, q を定めます

[問題 AG-23] 2つの虚数解と1つの重解をもつように p, q を定めます

 次の4次方程式
\[x^4+x^3+px+q=0\]が2つの虚数解 α,α2 と1つの重解をもつように p, q を定めてください。

問題 AG-23 のヒント

 「虚数解 a + bi が解であるときに、その共役数 a - bi もまた解である」という方程式の基本性質は既知とします。

≫ [Amazon 数学書籍] 群と物理
[内容:物理法則に現れる対称性/対称性と群/結晶群/量子力学/群の基本概念/同型および準同型/剰余類群/共役元と類]

問題 AG-23 の解答

 虚数解の1つを α = a + bi とおくと、題意より α2 = a - bi となります。したがって
 
\[(a+bi)^2=a-bi\]
とおけるので、展開して整理すると
 
\[a^2-b^2-a+(2a+1)bi=0\]
となるので、実部と虚部をそれぞれ 0 とおいて
 
\[\begin{align*}&a^2-b^2-a=0\\[6pt]
&(2a+1)bi=0\end{align*}\]
 α は虚数解なので、b ≠ 0 です。よって
 
\[a=-\frac{1}{2},\quad b= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]
となって、 α と α2
 
\[-\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}\]
となります。ここで
 
\[\alpha+\alpha^2=-1,\quad \alpha \cdot \alpha^2=1\]
と計算できるので、解と係数の関係より α と α2 を2解とする方程式は
 
\[x^2+x+1=0\]
となります。求める4次方程式はもう1つ重解をもつので、
 
\[x^4+x^3+px+q=(x^2+x+1)(x^2-c)\]
と因数分解できるはずです。右辺を展開すると
 
\[x^4+x^3+px+q=x^4+(1-c)x^2+x^3-c\]
となるので、両辺の係数を比べて
 
\[c=1,\quad p=1,\quad q=-1\]
と決まります。よって求める4次方程式は
 
\[x^4+x^3+x-1=0\]
となります。 ≫ [問題24] 連立方程式 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。