虚数解と実数解を 2 つずつもつように係数を定めます

[問題 AG-23] 虚数解と実数解を 2 つずつもちます

 次の4次方程式
\[x^4+x^3+px+q=0\]が2つの虚数解 $\alpha,\:\alpha^2$ と2つの実数解をもつように $p,\:q$ を定めてください。

問題 AG-23 のヒント

 「虚数解 $a+bi$ が解であるときに、その共役数 $a-bi$ もまた解である」という方程式の基本性質は既知とします。

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問題 AG-23 の解答

 虚数解の1つを $\alpha=a+bi$ とおくと、題意よりもう1つの解は $\alpha^2=a-bi$となります。したがって
 
\[(a+bi)^2=a-bi\]
とおけます。展開して整理すると
 
\[a^2-b^2-a+(2a+1)bi=0\]
となるので、実部と虚部をそれぞれ 0 とおいて
 
\[\begin{align*}&a^2-b^2-a=0\\[6pt]
&(2a+1)bi=0\end{align*}\]
 $\alpha$ は虚数解なので、$b\neq 0$ です。よって
 
\[a=-\frac{1}{2},\quad b= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]
となって、 $\alpha$ と $\alpha^2$ は
 
\[-\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}\]
となります。ここで
 
\[\alpha+\alpha^2=-1,\quad \alpha \cdot \alpha^2=1\]
と計算できるので、解と係数の関係より $\alpha$ と $\alpha^2$ を2解とする方程式は
 
\[x^2+x+1=0\]
となります。求める4次方程式は実数解をもつので、
 
\[x^4+x^3+px+q=(x^2+x+1)(x^2-c)\]
と因数分解できるはずです。右辺を展開すると
 
\[x^4+x^3+px+q=x^4+x^3+(1-c)x^2-cx-c\]
となるので、両辺の係数を比べて
 
\[c=1,\quad p=-1,\quad q=-1\]
と決まります。よって求める4次方程式は
 
\[x^4+x^3-x-1=0\]
となります。 ≫ [問題24] 連立方程式 ≫ 数学演習問題

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コメント

  1. たけちゃん より:

    x^2-c=0は重解を持ちません.
    題意の条件を満たすようにするには,
    p,qを実数とすることをあきらめるしかないと思います.
    (p,qを実数とする意図であれば,それを明示しないとまずいですね.)

    • Blog Cat より:

      御指摘の通りです。申し訳ありません。
      問題を作成する時に (x^2+x+1)(x^2-1) という因数分解された 4 次式をつくったのですが、なぜか x^2 – 1 のところを「重解」というように勘違いして問題文を書いてしまいました。正しくは虚数解と実数解を 2 つずつです。問題文と解答はすでに訂正しておきました。

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