2 本の直線と y 軸がつくる三角形の面積

[問題 AG-07] 2 本の直線と y 軸がつくる三角形の面積

 2 本の直線 f(x) = a x + 1 と g(x) = - x / a (a > 0)、および y 軸によって囲まれる三角形の面積 S(a) を求めて、a と S(a) の関係を図示してください。

問題 AG-07 のヒント

 数学ⅠA の範囲で考えると S(a) の描き方が少し難しいと感じるかもしれませんが、いくつか具体的な値を入れて曲線で結ぶようにしてください。

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問題 AG-07 の解答

 まずは f(x) = g(x) とおいて交点の x 座標を求めると ( y 座標は必要ありません)、
 
\[x=-\frac{a}{a^2+1}\]
が得られます。ここでグラフを描いてみると次のようになります。

 2直線とy軸がつくる三角形グラフ

 a > 0 ですから、交点は必ず負となります。なので図より交点の x 座標の符号を反転したものが、そのまま求める三角形の高さになります。よって三角形の面積は
 
\[S(a)=\frac{a}{2(a^2+1)}\]
となります。難しいのはこれをグラフに描くことで、微積分の知識があれば S を微分して増減表を書けばよいのですが、ここでは微積分を使わずにグラフを描いてみようと思います。まず a = 1/2, 1, 2, 3, ...... という値を具体的に入れていくと

  S(1/2) = 1/5, S(1) = 1/4, S(2) = 1/5, S(3) = 3/20, ......

となって、a = 1 あたりにピーク(最大値)が1つあって、あとは減少し続ける関数であることがわかります。そこでこの最大値を正確に求めるために、まず S(a) の分母と分子を a で割ってみます。
 
\[S(a)=\frac{1}{2(a+\cfrac{1}{a})}\]
 分子が最小のときに S(a) は最大となります。相加相乗平均の関係式より
 
\[2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} \leq a+\frac{1}{a} \: \: \: \therefore 2 \leq a+\frac{1}{a}\]
 等号成立のとき最小値となるので、a = 1/a のとき、すなわち a = 1 のときに S(a) が最大値 1/4 をとることがわかります。よってグラフは次のようになります。

 面積Saグラフ
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