2 つの未知数を含む 2 次方程式

[問題 AG-13] 2 つの未知数を含む 2 次方程式

 次の 2 次方程式の解 x, y を求めてください。
 
\[x^2+2y^2+2xy-4x-6y+5=0\]

問題 AG-13 のヒント

 方程式は1つなのに未知数が2つもあります。
 しかし解は x, y ともに1つずつに決まるのです。

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問題 AG-13 の解答

 方程式を \(A(x)^2+B(y)^2=0\) の形にすることができれば、 \(A(x)=0,\:B(y)=0\) という 2 つの方程式に分離することができます。 \(A(x)^2+B(y)^2=0\) を目指して変形していきましょう。まず x について整理すると
 
\[x^2+(2y-4)x+2y^2-6y+5=0\]
となります。次は平方完成していきます。
 
\[\begin{align*}&(x+y-2)^2-(y-2)^2+2y^2-6y+5=0\\[6pt]
&(x+y-2)^2+y^2-2y+1=0\\[6pt]
&(x+y-2)^2+(y-1)^2=0\end{align*}\]
したがって
 
\[x+y-2=0,\quad y-1=0\]
という連立方程式が得られるので、これを解いて \(x=1,\:y=1\) となります。

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