(x ± p)2 = 0

 前回まで学んだことをおさらいすると、

x2 - c = 0  ⇔  x2 = c  (c ≧ 0)

という方程式の解は x = ±√c であるということでしたね。
 もう少し複雑な 2 次方程式でも基本は同じなのです。
 

因数分解して方程式を書き換えます

(x - p)2 = 0  (p ≧ 0)   [1]

という形の方程式を考えます。「 x にどんな数字を入れたら 0 になるのかな?」と考えると、これはひと目で x = p ということがわかりますね。左辺を展開してみると

x2 - 2 p x + p2 = 0  (p ≧ 0)   [2]

となります。でもこの形だと解が x = p であることはひと目でわかりませんね。ですから [2] のような方程式が現れたときは、 [1] の形に書き換えて解を見つけるのです。このような書き換えのことを 因数分解 とよびます。同じように

(x + p)2 = 0  (p ≧ 0)   [3]

という方程式は

x2 + 2 p x + p2 = 0  [4]

という形に展開できるので、[4] を解くときは [3] の形に直して x = - p という解を得ます。以上まとめると、

  x2 ± 2 p x + p2 = 0  [5]  ⇒  (x ± p)2 = 0  [6]

 

因数分解の手順

 まず最初に [5] の末項 p2 に注目します。つまりここが平方数になっていなければ話にならないということです。3 とか 5 とか、そんな数字ではダメ。実数の範囲では因数分解できません。そんなときは [5] ⇒ [6] のような書き換えはできないので諦めます(次回以降に説明する別の形の因数分解ができる可能性は残されます)。
 末項が平方数になっていれば、その平方根 p を得て、[5] の第 2 項にあるように ± 2 p x の形になっていれば [6] の形に因数分解できます。以下で具体例を見ていきます。
 

因数分解の具体例

 次のような方程式を考えてみます。

x2 - 2 x + 1 = 0

 左辺の末項が 1 = 12 ですから平方数。1つめの条件をクリアして p = 1。
 第 2 項は - 2 x = - 2 p x となっているので、2つめの条件も満たしています。よって左辺は因数分解できて、方程式は

(x - 1)2 = 0

という形になります。よって解は x = 1 です。もう少し練習しておきましょう。

x2 + 4 x + 4 = 0 

という方程式を考えます。左辺の末項が 4 = 22 ですから平方数となっています。よって b = 2 。この b の 2 倍が x の係数となっているので因数分解できて

(x + 2)2 = 0

となります。よって解は x = -2 となります。

問題 次の方程式を解いてください

(1) x2 - 6 x + 9 = 0
(2) x2 + 10 x + 25 = 0
(3) 4 x2 + 8 x + 4 = 0

問題の解答

(1) (x - 3)2 = 0 より x = 3

(2) (x + 5)2 = 0 より x = 5

(3) 両辺を 4 で割ると

x2 + 2 x + 1 = 0

左辺を因数分解して

(x + 1)2 = 0

よって解は x = -1 となります。

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