等式の証明(左辺を変形して右辺の形にします)

[問題 AG-09] 等式の証明

 次の等式を証明してください。
\[(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3\:(a-b)\:(b-c)\:(c-a)\]

問題 AG-09 のヒント

 左辺を変形して右辺の形にしますが、それなりの工夫が必要です。

≫ [Amazon] 証明と論理(論理式の読み方からゲーデルまで)
[内容:証明と論理/推論規則/数学の論理と日常言語の論理/ゲーデルの不完全性定理/言論と推論/命題論理と述語論理/論理式/公理系]

問題 AG-09 の解答

 (x+y)3 を展開すると
 
\[(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\]
となるので、
 
\[x^3+y^3=(x+y)^3-3xy\:(x+y)\]
という 3 乗和の式を得ますので、
 
\[x=a-b,\quad y=b-c\]
とおくと \(x+y=a-c\) ですから、
 
\[\begin{align*}(a-b)^3+(b-c)^3=&\:(a-c)^3-3\:(a-b)\:(b-c)\:(a-c)\\[6pt]
=&\:(c-a)\:\{3\:(a-b)\:(b-c)-(c-a)^2\}\end{align*}\]
のように変形されます。よって
 
\[\begin{align*}
(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=&\:(c-a)\:\{3\:(a-b)\:(b-c)-(c-a)^2\}\\[6pt]
=&\:3\:(a-b)\:(b-c)\:(c-a)\end{align*}\]
となります。 ≫ [問題10] 不等式の証明 ≫ 数学演習問題

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。