Excel で積分計算しましょう

 今回の Excel 数学講座は Excel の機能を使って積分計算をしてみよう という内容です。「積分」と聞くとなんだか難しそうな気がするかもしれませんが、実のところコンピュータは微分よりも積分のほうが得意なので、とても簡単な作業です。Excel の操作に慣れている人なら 5 分ほどで終わってしまうと思います。

 ≫ VBA を用いた積分計算用ユーザー定義関数はこちらに揃えてあります
 (モジュールに貼りつけるだけで Excel 関数と同じように使えます)
 

台形公式を使います

 数値積分には色々な方法がありますが、今回は比較的簡単な 台形近似 という方法を使って計算します。台形近似公式の詳しい導き方を知りたい人は 台形公式による数値積分 という記事に載っているので、そちらを参照してください。ここでは概念図と公式だけ載せておきます。

 VBA台形公式n分割による定積分の計算

 区間 [a, b] において、ある関数 y=f(x) と x 軸に囲まれた面積は

\[\int_{a}^{b}f(x)dx\simeq \left\{ \frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\left( a+k\Delta x \right) \right\} \Delta x\]

という式で近似されます。ここで
 
\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]
は切り分けたうちの 1 区分の長さです。

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3 次関数を数値積分してみます

 それでは実際に Excel で数値積分してみましょう。
 
\[f(x)=x^3+x^2+x+1\]
という 3 次関数を 0 から 1 まで積分してみます。区間は 10 等分することにします。つまり ⊿x = 0.1 です。次のようなワークシートを作ります。

エクセルによる積分計算

 セル C5 には

=B5^3+B5^2+B5+1

と入力してセルの右下隅をダブルクリックしてセル C15 まで値を埋めます。これが各点における関数の値です。そしてセル C17 には台形面積の和を入力します。

=((C5+C15)*0.5+SUM(C6:C14))*0.1

 端点である f(0) と f(1) にはそれぞれ 1/2 = 0.5 を掛けて足し合わせ、それ以外の f(x) はそのまま足します。最後に式全体に区分の長さ ⊿x = 0.1 を掛けて面積を計算しています。その結果は 2.0875 となっていますね。ちなみに実際の値は 2.0833 ですから、かなり良い精度の近似であることがわかります。もちろん ⊿x をもっと小さな値にすれば、さらに精度が向上します。 ≫ Excel 数学講座  ≫ 英語ブログもやってます!

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