陽関数と陰関数

 

陽関数 Explicit functions

 1 変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 
\[y=x^2,\quad y=e^x,\quad y=\cos x\]
などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に 2 変数関数が $z=f(x,y)$ の形で表されるとき、$z$ を $x$ と $y$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 
\[z=x^2+2xy+y^2,\quad z=\sin xy,\quad z=\sqrt{x+y}\]
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陽関数です。
 

陰関数 Implicit functions

 1 変数関数が
 
\[F(x,y)=0\]
の形で与えられたとき、$y$ を $x$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。
 
\[F(x,y)=y-ax-b=0\]
と書けば、$y$ は $x$ の陰関数であり、直線の式を表しています。また 2 変数関数が
 
\[F(x,y,z)=0\]
という形で与えられたとき、$z$ を $x$ と $y$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。たとえば
 
\[F(x,y,z)=x^3+x^2y+xy^2+y^3+a=0\]
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陰関数です。
 

陰関数の微分法 Differential of Implicit functions

$F(x,y)=0$ の場合

 ある関数が $F(x,y)=0$ で表されるとき、
 
\[dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=\left(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dy}{dx}\right)dx=0\]
なので、$F_y\neq 0$ のときは

\[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\tag{A}\]

と表すことができます。たとえば半径 $a$ の円を表す方程式
 
\[F(x,y)=x^2+y^2-a^2=0\]
において、$F_x=2x,\:F_y=2y$ なので、
 
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\neq 0)\]
となります。しかし公式 (A) を使わなくても、
 
\[x^2+y^2-a^2=0\]
の両辺を $x$ で微分すると
 
\[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]
となるので簡単に
 
\[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\neq 0)\]
が得られます。

$F(x,y,z)=0$ の場合

 ある関数が $F(x,y,z)=0$ で表されるとき、
 
\[dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=0\]
 この式に
 
\[dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\]
を代入して整理すると
 
\[\left( \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\right)dx+\left( \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)dy=0\]
となります。$x$ と $y$ は独立なので、

\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}\tag{B}\]

という公式が得られます。例として
 
\[F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0\]
という関数を考えてみます。$F_x=2x+z,\:F_y=y+2z$ なので
 
\[\begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial x}&=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}\\[6pt]
\frac{\partial z}{\partial y}&=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}
\end{align*}\]
となります。しかしこの場合も
 
\[F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0\]
の両辺を $x$ で微分して
 
\[2x+2y+y\frac{\partial z}{\partial x}+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0\]
から
 
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}\]
が得られ、また両辺を $y$ で微分して
 
\[2x+z+y\frac{\partial z}{\partial y}+2z\frac{\partial z}{\partial y}=0\]
から
 
\[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}\]
を得ることができます。普通はこのようにして計算するので、公式 (A), (B) をそのまま使う機会はあまりないです。 ≫ 数学辞典

スポンサーリンク
末尾広告
末尾広告

コメントをどうぞ

メールアドレスが公開されることはありません。