陽関数と陰関数

陽関数

一変数関数が $y=f(x)$ の形で表されるとき、$y$ を $x$ の 陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 \[y=x^2,\quad y=e^x,\quad y=\cos x\]
などと書かれたとき、$y$ は $x$ の陽関数です。同様に二変数関数が $z=f(x,y)$ の形で表されるとき、$z$ を $x$ と $y$ の陽関数 (explicit function) であるといいます。たとえば
 \[z=x^2+2xy+y^2,\quad z=\sin xy,\quad z=\sqrt{x+y}\]
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陽関数です。

陰関数

一変数関数が
 \[F(x,y)=0\]
の形で与えられたとき、$y$ を $x$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。たとえば、
 \[F(x,y)=y-ax-b=0\]
と書けば、$y$ は $x$ の陰関数であり、直線の式を表しています。また 2 変数関数が
 \[F(x,y,z)=0\]
という形で与えられたとき、$z$ を $x$ と $y$ の 陰関数 (implicit function) であるといいます。たとえば
 \[F(x,y,z)=x^3+x^2y+xy^2+y^3+a=0\]
と表されたとき、$z$ は $x$ と $y$ の陰関数です。

陰関数の微分法

陰関数を微分して導関数を求めてみましょう。
 
ある関数が $F(x,y)=0$ で表されるとき、
 \[dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=\left(\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dy}{dx}\right)dx=0\]
なので、$F_y\neq 0$ のときは
 \[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\tag{A}\]
と表すことができます。たとえば半径 $a$ の円を表す方程式
 \[F(x,y)=x^2+y^2-a^2=0\]
において、$F_x=2x,\:F_y=2y$ なので、
 \[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\neq 0)\]
となります。しかし公式 (A) を使わなくても、
 \[x^2+y^2-a^2=0\]
の両辺を $x$ で微分すると
 \[2x+2y\frac{dy}{dx}=0\]
となるので簡単に
 \[\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\neq 0)\]
が得られます。

ある関数が $F(x,y,z)=0$ で表されるとき、
 \[dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=0\]
この式に
 \[dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy\]
を代入して整理すると
 \[\left( \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\right)dx+\left( \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}\right)dy=0\]
となります。$x$ と $y$ は独立なので、
 \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}\tag{B}\]
という公式が得られます。例として
 \[F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0\]
という関数を考えてみます。$F_x=2x+z,\:F_y=y+2z$ なので
 \[\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial x}&=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}\\[6pt]\frac{\partial z}{\partial y}&=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}\end{align*}\]
となります。しかしこの場合も
 \[F(x,y,z)=x^2+2xy+yz+z^2-1=0\]
の両辺を $x$ で微分して
 \[2x+2y+y\frac{\partial z}{\partial x}+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0\]
から
 \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2(x+y)}{y+2z}\]
が得られ、また両辺を $y$ で微分して
 \[2x+z+y\frac{\partial z}{\partial y}+2z\frac{\partial z}{\partial y}=0\]
から
 \[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{2x+z}{y+2z}\]
を得ることができます。普通はこのようにして計算するので、公式 (A), (B) をそのまま使う機会はあまりないです。